Question

在△ABC中，E、F分別是AC、BC邊上的點，P₁、P₂、P₃、…、P_n-1是AB邊的n等分點，CE=

1

n

AC，CF=

1

n

BC．如圖1，若∠B=40°，AB=BC，則∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=

 

度；如圖2，若∠A=α，∠B=β，則∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=

 

（用含α，β的式子表示）．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)已知條件得出EP₁∥FB，EP₂∥FP₁，EP₃∥FP₂，…EP_n-1∥FP_n-2，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得出∠EP₁F=∠BFP₁，∠EP₂F=∠P₁FP₂，∠EP₃F=∠P₂FP₃，…∠EP_n-1F=∠P_n-2FP_n-1，因為∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=∠BFP_n-1，∠BFP_n-1，=∠C=70°，即可求得，同理可求得∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=180°-α-β．

解答：解：∵P₁、P₂、P₃、…、P_n-1是AB邊的n等分點，CE=

1

n

AC，CF=

1

n

BC．
∴EP₁∥FB，EP₂∥FP₁，EP₃∥FP₂，…EP_n-1∥FP_n-2，
∴∠EP₁F=∠BFP₁，∠EP₂F=∠P₁FP₂，∠EP₃F=∠P₂FP₃，…∠EP_n-1F=∠P_n-2FP_n-1，
∴∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=∠BFP_n-1，
∵∠B=40°，AB=BC，F(xiàn)P_n-1∥AC，
∴∠BFP_n-1，=∠C=70°，
同理可證：∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=BFP_n-1=∠C=180°-α-β．

點評：本題考查了平行線分相等成比例定理和平行線的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯角相等是本題的關(guān)鍵．