【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c.

(Ⅰ)若拋物線的頂點為A(﹣2,﹣4),拋物線經(jīng)過點B(﹣4,0)

①求該拋物線的解析式;

②連接AB,把AB所在直線沿y軸向上平移,使它經(jīng)過原點O,得到直線l,點P是直線l上一動點.

設(shè)以點A,B,O,P為頂點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標為x,當4+6≤S≤6+8時,求x的取值范圍;

(Ⅱ)若a>0,c>1,當x=c時,y=0,當0<x<c時,y>0,試比較ac與l的大小,并說明理由.

【答案】)①y=x2+4x②當4+6≤S≤6+8時,x的取值范圍為是≤x≤≤x≤ac≤1

【解析】

(I)①由拋物線的頂點為A(-2,-4),可設(shè)拋物線的解析式為y=ax+2)2-4,代入點B的坐標即可求出a,此問得解,②根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式,進而可求出直線l的解析式,分點P在第二象限及點P在第四象限兩種情況考慮:當點P在第二象限時,x<0,通過分割圖形求面積法結(jié)合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范圍,當點P在第四象限時,x>0,通過分割圖形求面積法結(jié)合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范圍,綜上即可得出結(jié)論,(2)由當x=cy=0,可得出b=-ac-1,由當0<xcy>0,可得出拋物線的對稱軸x=c,進而可得出b≤-2ac,結(jié)合b=-ac-1即可得出ac≤1.

(I)①設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2﹣4,

∵拋物線經(jīng)過點B(﹣4,0),

∴0=a(﹣4+2)2﹣4,

解得:a=1,

∴該拋物線的解析式為y=(x+2)2﹣4=x2+4x.

②設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m(k≠0),

將A(﹣2,﹣4)、B(﹣4,0)代入y=kx+m,

得:,解得:,

∴直線AB的解析式為y=﹣2x﹣8.

∵直線l與AB平行,且過原點,

∴直線l的解析式為y=﹣2x.

當點P在第二象限時,x<0,如圖所示.

SPOB=×4×(﹣2x)=﹣4x,SAOB=×4×4=8,

∴S=SPOB+SAOB=﹣4x+8(x<0).

∵4+6≤S≤6+8,

,即,

解得:≤x≤

∴x的取值范圍是≤x≤

當點P′在第四象限時,x>0,

過點A作AE⊥x軸,垂足為點E,過點P′作P′F⊥x軸,垂足為點F,則

S四邊形AEOP′=S梯形AEFP′﹣SOFP′=(x+2)﹣x(2x)=4x+4.

∵SABE=×2×4=4,

∴S=S四邊形AEOP′+SABE=4x+8(x>0).

∵4+6≤S≤6+8,

,即,

解得:≤x≤,

∴x的取值范圍為≤x≤

綜上所述:當4+6≤S≤6+8時,x的取值范圍為是≤x≤≤x≤

(II)ac≤1,理由如下:

∵當x=c時,y=0,

∴ac2+bc+c=0,

∵c>1,

∴ac+b+1=0,b=﹣ac﹣1.

由x=c時,y=0,可知拋物線與x軸的一個交點為(c,0).

把x=0代入y=ax2+bx+c,得y=c,

∴拋物線與y軸的交點為(0,c).

∵a>0,

∴拋物線開口向上.

∵當0<x<c時,y>0,

∴拋物線的對稱軸x=﹣≥c,

∴b≤﹣2ac.

∵b=﹣ac﹣1,

∴﹣ac﹣1≤﹣2ac,

∴ac≤1.

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