Question

如圖①，②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，以點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)，為弦，，是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)。

（1）的度數(shù)為 ；

（2）如圖①，當(dāng)與⊙A相切時(shí)，求的長(zhǎng)；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在直徑上時(shí)，的延長(zhǎng)線與⊙A相交于點(diǎn)，問(wèn)為何值時(shí)，是等腰三角形？

 

 

Answer 1

（1）60°；（2）4；（3）2或2+2．

【解析】

試題分析：（1）OA=AC首先三角形OAC是個(gè)等腰三角形，因?yàn)椤螦OC=60°，三角形AOC是個(gè)等邊三角形，因此∠OAC=60°；

（2）如果PC與圓A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度數(shù)，有A點(diǎn)的坐標(biāo)也就有了AC的長(zhǎng)，可根據(jù)余弦函數(shù)求出PA的長(zhǎng)，然后由PO=PA-OA得出OP的值．

（3）本題分兩種情況：

①以O(shè)為頂點(diǎn)，OC，OQ為腰．那么可過(guò)C作x軸的垂線，交圓于Q，此時(shí)三角形OCQ就是此類情況所說(shuō)的等腰三角形；那么此時(shí)PO可在直角三角形OCP中，根據(jù)∠COA的度數(shù)，和OC即半徑的長(zhǎng)求出PO．

②以Q為頂點(diǎn)，QC，QD為腰，那么可做OC的垂直平分線交圓于Q，則這條線必過(guò)圓心，如果設(shè)垂直平分線交OC于D的話，可在直角三角形AOQ中根據(jù)∠QAE的度數(shù)和半徑的長(zhǎng)求出Q的坐標(biāo)；然后用待定系數(shù)法求出CQ所在直線的解析式，得出這條直線與x軸的交點(diǎn)，也就求出了PO的值．

（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠OAC=60°．

（2）∵CP與⊙A相切，

∴∠ACP=90°，

∴∠APC=90°-∠OAC=30°；

又∵A（4，0），

∴AC=AO=4，

∴PA=2AC=8，

∴PO=PA-OA=8-4=4．

（3）①過(guò)點(diǎn)C作CP1⊥OB，垂足為P1，延長(zhǎng)CP1交⊙A于Q1；

∵OA是半徑，

∴，

∴OC=OQ1，

∴△OCQ1是等腰三角形；

又∵△AOC是等邊三角形，

∴P1O=OA=2；

②過(guò)A作AD⊥OC，垂足為D，延長(zhǎng)DA交⊙A于Q2，CQ2與x軸交于P2；

∵A是圓心，

∴DQ2是OC的垂直平分線，

∴CQ2=OQ2，

∴△OCQ2是等腰三角形；

過(guò)點(diǎn)Q2作Q2E⊥x軸于E，

在Rt△AQ2E中，

∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°，

∴Q2E=AQ2=2，AE=2，

∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)（4+2，-2）；

在Rt△COP1中，

∵P1O=2，∠AOC=60°，

∴CP1=2，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)（2，2）；

設(shè)直線CQ2的關(guān)系式為y=kx+b，則

，解得，

∴y=-x+2+2；

當(dāng)y=0時(shí)，x=2+2，

∴P2O=2+2．

考點(diǎn): 1.切線的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.等邊三角形的性質(zhì)．