Question

k為何值時，函數(shù)y=-

5

4

x+

k

2

+

1

4

與y=-

2

3

x+

k

3

的圖象的交點位于第四象限？當函數(shù)圖象的交點在第四象限，且k取正整數(shù)值時，求兩直線與x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：

分析：將兩直線方程聯(lián)立求解x、y（用含k的式子表示），根據(jù)第四象限的點的坐標特點橫坐標大于0，縱坐標小于0可得出k的取值范圍．然后根據(jù)k取正整數(shù)值時，確定k的值，進而求出交點坐標、兩直線與x軸的交點坐標，最后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．

解答：解：由題意得：

y=- 5 4 x+ k 2 + 1 4 ① y=- 2 3 x+ k 3 ②

，
解得：

x= 2k+3 7 y= 3k-6 21

，
因為兩直線交點在第四象限，所以x＞0，y＜0，
即：

2k+3 7 ＞0① 3k-6 21 ＜0②

，
解得：

k＞- 3 2 k＜2

，
所以當-

3

2

＜k＜2時，函數(shù)y=-

5

4

x+

k

2

+

1

4

與y=-

2

3

x+

k

3

的圖象的交點位于第四象限；
因為k取正整數(shù)值，
所以k=1，
當k=1時，兩直線為：
y=-

5

4

x+

3

4

，y=-

2

3

x+

1

3

．
分別令y=-

5

4

x+

3

4

，y=-

2

3

x+

1

3

．中的y=0，得：
x=

3

5

，x=

1

2

．
所以兩直線y=-

5

4

x+

3

4

，y=-

2

3

x+

1

3

．與x軸的交點坐標分別為A（

3

5

，0），B（

1

2

，0），
將兩直線聯(lián)立方程組：

y=- 5 4 x+ 3 4 ① y=- 2 3 x+ 1 3 ②

，
解得：

x= 5 7 y=- 1 7

，
所以兩直線的交點為：P（

5

7

，-

1

7

），
將兩直線的圖象畫在同一個平面直角坐標系內(nèi)：

所以兩直線與x軸所圍成的三角形的面積為：
S△ABP=

1

2

•（

3

5

-

1

2

）•

1

7

=

1

2

×

1

10

×

1

7

=

1

140

點評：本題考查了在給出直線方程的條件下求解交點的問題、及求兩直線與x軸所圍成的三角形的面積的問題，關鍵要知道用聯(lián)立求解的方法確定交點，屬于比較典型的題目．