Question

【題目】已知拋物線y＝ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)．

(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式；

(2)畫出函數(shù)的圖像，寫出拋物線上點(diǎn)A關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)B 的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）B的坐標(biāo)為（-2，1）；（3）C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，見解析.

【解析】

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可得到a的值，從而得解；

（2）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同解答；

（3）根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到AB的距離，再分①點(diǎn)C在AB下面，②點(diǎn)C在AB的上面兩種情況求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解：（1））∵拋物線y=ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），
∴4a=1，解得a=，
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為y=x2；

（2）∵點(diǎn)A（2，1），關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，

∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，1）；

（3）如圖：

∵點(diǎn)A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2，

假設(shè)存在點(diǎn)C，且點(diǎn)C到AB的距離為h，

則S△ABC=ABh=×4h，

∵△ABC的面積等于△OAB面積的一半，

∴×4h=×2，解得h=，

①當(dāng)點(diǎn)C在AB下面時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，

此時(shí)，解得，，

則此時(shí)C的坐標(biāo)為（，）或（，），

②點(diǎn)C在AB的上面時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，

此時(shí)，解得，，

則此時(shí)C的坐標(biāo)為（，）或（，），

綜上，存在點(diǎn)C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面積等于△OAB面積的一半．