【題目】(定義)在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于函數(shù)圖象的橫寬、縱高給出如下定義:當(dāng)自變量x在范圍內(nèi)時(shí),函數(shù)值y滿足.那么我們稱b-a為這段函數(shù)圖象的橫寬,稱d-c為這段函數(shù)圖象的縱高.縱高與橫寬的比值記為k即:.
(示例)如圖1,當(dāng)時(shí);函數(shù)值y滿足,那么該段函數(shù)圖象的橫寬為2-(-1)=3,縱高為4-1=3.則.
(應(yīng)用)(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象橫寬為 ,縱高為 ;
(2)已知反比例函數(shù),當(dāng)點(diǎn)M(3,4)和點(diǎn)N在該函數(shù)圖象上,且MN段函數(shù)圖象的縱高為2時(shí),求k的值.
(3)已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A點(diǎn),B點(diǎn).
①若m=1,是否存在這樣的拋物線段,當(dāng)()時(shí),函數(shù)值滿足若存在,請(qǐng)求出這段函數(shù)圖象的k值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
②如圖2,若點(diǎn)P在直線y=x上運(yùn)動(dòng),以點(diǎn)P為圓心,為半徑作圓,當(dāng)AB段函數(shù)圖象的k=1時(shí),拋物線頂點(diǎn)恰好落在上,請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)2,4;(2),2;(3)①存在,k=3;② 或或
【解析】
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)的函數(shù)值y滿足
從而可以得出橫寬和縱高;
(2)由題中MN段函數(shù)圖象的縱高為2,進(jìn)而進(jìn)行分類討論N的y值為2以及6的情況,再根據(jù)題中對(duì)k值定義的公式進(jìn)行計(jì)算即可;
(3)①先求出函數(shù)的解析式及對(duì)稱軸及最大值,根據(jù)函數(shù)值滿足確定b的取值范圍,并判斷此時(shí)函數(shù)的增減性,確定兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),代入函數(shù)解析式求解即可;
②先求出A、B的坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)k=1求出m的值,分兩種情況討論即可.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)的函數(shù)值y滿足,
從而可以得出橫寬為,縱高為
故答案為:2,4;
(2)將M(3,4)代入,得n=12,
縱高為2,
令y=2,得x=6;令y=6,x=2,
,
.
(3)①存在,
,
解析式可化為,
當(dāng)x=2時(shí),y最大值為4,
,解得,
當(dāng)時(shí),圖像在對(duì)稱軸左側(cè),
y隨x的增大而增大,
當(dāng)x=a時(shí),y=2a;當(dāng)x=b時(shí),y=3b,將分別代入函數(shù)解析式,
解得(舍),(舍),,
②,,,理由是:
A(0,0),B(4,0),頂點(diǎn)K(2,4m),
AB段函數(shù)圖像的k=1,
,
m=1或-1,
二次函數(shù)為或,過頂點(diǎn)K和P點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線,交點(diǎn)為H.
i)若二次函數(shù)為,
如圖1,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,x),則KH=,PH=,
在中,,
即
解得,
ii)若二次函數(shù)為,
如圖2,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,x),則,
在中,
,解得x=-1,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖1,將三角板放在正方形上,使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合,三角板的一邊交于點(diǎn).另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)觀察猜想:線段與線段的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)探究證明:如圖2,移動(dòng)三角板,使頂點(diǎn)始終在正方形的對(duì)角線上,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明:若不成立.請(qǐng)說明理由:
(3)拓展延伸:如圖3,將(2)中的“正方形”改為“矩形”,且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn),其他條件不變,若、,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2+bx的對(duì)稱軸為x=1,若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(為實(shí)數(shù))在﹣1<x<4的范圍內(nèi)有解,則t的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,半徑為1的動(dòng)圓圓心M從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),沿著BD方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤2.5),以點(diǎn)N為圓心,NB的長(zhǎng)為半徑的⊙N與BD,AB的交點(diǎn)分別為E,F,連結(jié)EF,ME.
(1)①當(dāng)t= 秒時(shí),⊙N恰好經(jīng)過點(diǎn)M;②在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)⊙M與△ABD的邊相切時(shí),t= 秒;
(2)當(dāng)⊙M經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),①求N到AD的距離;②求⊙N被AD截得的弦長(zhǎng);
(3)若⊙N與線段ME只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直接寫出t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,3),B(-4,1),C(-1,2).
(1)畫出以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C'
(2)求點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,以1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P,當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是_____
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:拋物線交x軸于A,C兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)B,且OB=2CO.
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè),過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn),當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí),求該矩形周長(zhǎng)的最大值;
(3) 拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABE中,∠B=90°,以AB為直徑的⊙O交AE于點(diǎn)C,CE的垂直平分線FD交BE于點(diǎn)D,連接CD.
(1)判斷CD與⊙O的位置關(guān)系,并證明;
(2)若AC=6,CE=8,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】尺規(guī)作圖:已知△ABC,如圖.
(1)求作:△ABC的外接圓⊙O;
(2)若AC=4,∠B=30°,則△ABC的外接圓⊙O的半徑為 .
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