【題目】如圖,已知:拋物線交x軸于A,C兩點,交y軸于點B,且OB=2CO.
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N,且點N在點M的左側(cè),過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點,當四邊形MNHG為矩形時,求該矩形周長的最大值;
(3) 拋物線對稱軸上是否存在點P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y;(2);(3)(1,-3)或(1,)或(1,1+)或(1,1-)
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求出A、B、C的坐標,然后把B點坐標代入,求出a 的值,并化簡二次函數(shù)式即可;
(2)設(shè)點M的坐標為(m,),則點N的坐標為(2-m),可得, GM=,利用矩形MNHG的周長=2MN+2GM,化簡可得,即當時,C有最大值,最大值為,
(3)分三種情況討論:①點P在AB的下方,②點P在AB的上方,③以AB為直徑作圓與對稱軸交,分別討論得出結(jié)果即可.
(1)對于拋物線y=a(x+1)(x-3),
令y=0,得到a(x+1)(x-3)=0,
解得x=-1或3,
∴C(-1,0),A(3,0),
∴OC=1,
∵OB=2OC=2,
∴B(0,2),
把B(0,2)代入y=a(x+1)(x-3)中得:2=-3a,a=-
∴二次函數(shù)解析式為
(2)設(shè)點M的坐標為(m,),
則點N的坐標為(2-m,),
, GM=
矩形MNHG的周長 C=2MN+2GM
=2(2m-2)+2()
=
=
∴當時,C有最大值,最大值為,
(3)∵A(3,0),B(0,2),
∴OA=3,OB=2,
由對稱得:拋物線的對稱軸是:x=1,
∴AE=3-1=2,
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸相交于點E,當△ABP為直角三角形時,存在以下三種情況:
①如圖1,
當∠BAP=90°時,點P在AB的下方,
∵∠PAE+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠PAE=∠ABO,
∵∠AOB=∠AEP,
∴△ABO∽△PAE,
∴ ,即,
∴PE=3,
∴P(1,-3);
②如圖2,
當∠PBA=90°時,點P在AB的上方,過P作PF⊥y軸于F,
同理得:△PFB∽△BOA,
∴,即,
∴
∴,
∴P(1,);
③如圖3,
以AB為直徑作圓與對稱軸交于P1、P2,則∠AP1B=∠AP2B=90°,
設(shè)P1(1,y),
∵AB2=22+32=13,
由勾股定理得:AB2=P1B2+P1A2,
∴,
解得:,
∴P(1,1+)或(1,1-)
綜上所述,點P的坐標為(1,-3)或(1,)或(1,1+)或(1,1-)
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【題目】如圖,將一塊含的三角板()放置在坐標系中,直角頂點與原點重合,另兩個頂點、分別在反比例函數(shù)和的圖像上,的值為___________.
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【題目】如圖,已知點A是反比例函數(shù) y = (x>0 )的圖象上的一個動點,連接OA ,OB⊥OA,且OB =2OA.那么經(jīng)過點B的反比例函數(shù)的表達式為( )
A.y=-B.y= C.y=-D.y=
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【題目】如圖,為了測量出樓房AC的高度,從距離樓底C處米的點D(點D與樓底C在同一水平面上)出發(fā),沿斜面坡度為i=1:的斜坡DB前進30米到達點B,在點B處測得樓頂A的仰角為53°,求樓房AC的高度(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈,計算結(jié)果用根號表示,不取近似值).
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【題目】如圖,菱形ABCD的頂點A,D在直線l上,∠BAD=60°,以點A為旋轉(zhuǎn)中心將菱形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<30°),得到菱形AB′C′D′,B′C′交對角線AC于點M,C′D′交直線l于點N,連接MN,當MN∥B′D′ 時,解答下列問題:
(1)求證:△AB′M≌△AD′N;
(2)求α的大小.
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【題目】一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球,分別標有數(shù)字1、2、3、4,另有一個可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤.被分成面積相等的3個扇形區(qū),分別標有數(shù)字1、2、3(如圖所示).小穎和小亮想通過游戲來決定誰代表學校參加歌詠比賽,游戲規(guī)則為:一人從口袋中摸出一個小球,另一個人轉(zhuǎn)動圓盤,如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于4,那么小穎去;否則小亮去.
(1)用樹狀圖或列表法求出小穎參加比賽的概率;
(2)你認為該游戲公平嗎?請說明理由;若不公平,請修改該游戲規(guī)則,使游戲公平.
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【題目】小輝和小聰兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時,把一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A成3等份的扇形區(qū)域,把轉(zhuǎn)盤B成2等份的扇形區(qū)域,并在每一小區(qū)內(nèi)標上數(shù)字(如圖所示),游戲規(guī)則:同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,當兩轉(zhuǎn)盤停止后,若指針所指兩個區(qū)域的數(shù)字之和為2的倍數(shù)時,則小輝獲勝;若指針所指兩個區(qū)域的數(shù)字之和為3的倍數(shù)時,則小聰獲勝;如果指針落在分割線上,則需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.在這個游戲中,小輝和小聰兩人獲勝的概率分別為多少?該游戲規(guī)則對雙方公平嗎?
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【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=6,AD=8將矩形ABCD沿直線MN翻折后,點B恰好落在邊AD上的點E處,如果AE=2AM,那么CN的長為______.
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【題目】如圖1,正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象都經(jīng)過點A(2,2).
(1)分別求這兩個函數(shù)的表達式;
(2)如圖2,將直線OA向下平移n個單位長度后與y軸交于點B,與x軸交于點C,與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點為D,連接OD,tan∠COD=.
①求n的值.
②連接AB,AD,求△ABD的面積.
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