Question

直線y=-x+b與雙曲線y=相交于點D（-4，1）、C（1，m），并分別與坐標軸交于A、B兩點，過點C作直線MN⊥x軸于F點，連接BF．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）作出△ABF的外接圓，并求出圓心I的坐標；
（3）在（2）中⊙I與直線MN的另一交點為E，判斷點D、I、E是否共線？說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x+b與雙曲線y=相交于點D（-4，1），
∴1=4+b，解得b=-3；1=，解得k=-4，
∴直線解析式為y=-x-3；雙曲線解析式為y=-；

（2）作△ABF的外接圓（如圖所示）
分別作出線段AF、AB的垂直平分線l₁，l₂，l₁，l₂，的交點即為圓心I，以I為圓心，IA為半徑作圓即為△ABF的外接圓；
∵直線解析式為y=-x-3；雙曲線解析式為y=-，
∴，解得或，
∵D（-4，1），
∴C（1，-4），
∵直線MN⊥x軸于F點，
∴F（1，0），
∴直線l₁的解析式為x=-1；
∵直線解析式為y=-x-3，
∵A（-3，0），B（0，-3），
∴直線l₂的解析式為y=x，
∴，解得，
∴圓心I（-1，-1）；

（3）點D、I、E不共線．
∵A（-3，0），I（-1，-1），
∴AI==，
∴⊙O的方程為（x+1）²+（y+1）²=5，
∵直線MN的解析式為x=1，
∴直線MN與⊙I的交點為（1，0）或（1，-2），
∴E（1，-2），
設(shè)過點D、I直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵D（-3，0），I（-1，-1），
∴，解得，
∴過D、I的直線解析式y(tǒng)=-x-
∵當x=1時，y=-×1-=-≠-2，
∴點D、I、，E不共線．
分析：（1）直接把點D（-4，1）代入直線y=-x+b與雙曲線y=即可得出結(jié)論；
（2）分別作出線段AF、AB的垂直平分線，其垂直平分線的交點即為圓心I，以I為圓心，IA為半徑作圓；聯(lián)立直線與雙曲線的解析式即可得出C點坐標，故可得出F點的坐標，再由直線的解析式即可得出AB兩點的坐標，故可得出線段AF及AB垂直平分線的解析式，由此可得出圓心I的坐標；
（3）先根據(jù)兩點間的距離公式求出AI的長，由I（-1，-1）可得出⊙I的方程，把x=1代入可求出E點坐標，再用待定系數(shù)法求出直線DI的解析式，把x=1代入進行檢驗即可．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、直線與圓的交點問題等相關(guān)知識，難度適中．