Question

【題目】已知拋物線與軸的交點分別為（1，0）、（3，0），與軸的交點為．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）點（4，）和（，）為拋物線上的兩點，當時，寫出的取值范圍；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點,使最大?若存在,請求出點的坐標;若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1），（2，－1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）把、坐標代入得到方程組,解方程組即可；化成頂點式即可求出頂點坐標；

（2）求出t值并求出當y=t時另外一點的坐標，觀察圖象的升降趨勢即可求出當時，的取值范圍；

（3）由拋物線的對稱性知，點B關于對稱軸的對稱點是A，于是問題就轉化成了“在拋物線的對稱軸上是找點,使最大”，直線AD與對稱軸的交點就是所要找的點M，據(jù)此求解即可.

解：（1）∵拋物線經(jīng)過點（1，0）、（3，0），

∴，

解得，，

∴拋物線的解析式為，

∴

∴拋物線的頂點坐標是（2，－1）

（2）當x=4時，y=3，

∴點P坐標為（4，3）

∴點P（4，3）關于對稱軸對稱的點的坐標為（0，3），

∴當即n>3時，的取值范圍是或.

（3）由拋物線的對稱性知，其對稱軸是的垂直平分線，

∴，

∴

由三角形的三邊關系，得 ，

∴

∴當點、、共線時，最大，為的長度

設直線的解析式為，則

解得，

∴直線的解析式為

由（1）得，拋物線的對稱軸是直線，

把x=2 代入中得y=-3，

即點的坐標為，

∴拋物線的對稱軸上存在點,使最大