【題目】如圖,拋物線與x軸相交于A(3,0)、B兩點,與y軸交于點C(0,3),點B在x軸的負半軸上,且.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上且位于直線上方的一動點,求的面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)在線段上是否存在一點M,使的值最?若存在,請求出這個最小值及對應的M點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)的面積的最大值為,此時;(3)當時,的最小值為.
【解析】
(1)根據(jù)求出B點坐標,設交點式,用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式;
(2)作PD⊥x軸,與線段AC相交于D,根據(jù)表示的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的面積的最大值及此事P點坐標;
(3)構(gòu)造CM為斜邊的等腰三角形,它的直角頂點為第一象限內(nèi)的N,可得出=最小值即為BN.設可表示N點坐標,繼而可表示,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值,以及此時M點坐標.
解:(1)∵,
∴OA=3,OB=1
∴
∴設拋物線的交點式為,
將代入得,解得
∴,
即該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.
(2)作PD⊥x軸,與線段AC相交于D.
設直線AC:y=kx+d
將,分別代入
得,解得,
所以y=-x+3.
設,則,
設△DCP以PD為底時高為h1,△DAP以PD為底時高為h2,則因為,所以時取得最大值為..
故的面積的最大值為,此時.
(3)存在,如下圖,作以CM為斜邊的等腰三角形,它的直角頂點為第一象限內(nèi)的N點,
∵△MCN為等腰直角三角形,
∴MN=,即要使最短,只需要最短為BN即可,
設則,
∴
當時,取得最小值為8,即.
當時,的最小值為.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1,a)和B兩點,與x軸交于點C.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點P在x軸上,且△APC的面積為5,求點P的坐標;
(3)若點P在y軸上,是否存在點P,使△ABP是以AB為一直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的P點坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,以邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C,E是⊙O上的一點,且∠BEC=45°.
(1)試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若BE=8cm,sin∠BCE= ,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與反比例函數(shù)的圖象交于A,B兩點(點A在點B左側(cè)),已知A點的縱坐標是1:將直線沿y向上平移后的直線與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)交于點C,如果的面積為3,則平移后的直線的函數(shù)表達式為_____.
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【題目】甲、乙兩地高速鐵路建設成功,一列動車從甲地開往乙地,一列普通列車從乙地開往甲地,兩車均勻速行駛并同時出發(fā),設普通列車行駛的時間為x(小時),兩車之間的距離為y(千米),圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系,下列說法:
①甲、乙兩地相距1800千米;
②點B的實際意義是兩車出發(fā)后4小時相遇;
③m=6,n=900;
④動車的速度是450千米/小時.
其中不正確的是( )
A.①B.②C.③D.④
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【題目】已知拋物線y=ax2+(1﹣2a)x+c(a,c是常數(shù),且a≠0),過點(0,2).
(1)求c的值,并通過計算說明點(2,4)是否也在該拋物線上;
(2)若該拋物線與直線y=5只有一個交點,求a的值;
(3)若當0≤x≤2時,y隨x的增大而增大,求a的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,設二次函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求函數(shù)的表達式;
(2)若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象經(jīng)過軸上同一點,探究實數(shù)滿足的關(guān)系式;若隨的變化能取得最大值,證明:當取得最大值時,拋物線與軸只有一個交點;
(3)已知點和在函數(shù)的圖象上,若,求的取值范圍.
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【題目】如圖,AD是⊙O的直徑,BC是弦,四邊形OBCD是平行四邊形,AC與OB相交于點P,給出下列結(jié)論:①AC⊥CD;②∠CAD=30°;③OB⊥AC;④CD=2OP.其中正確的個數(shù)為( 。
A.4個B.3個C.2個D.1個
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