Question

若正方形ABCD的邊長為8，E為BC邊上一點，BE=6，M為線段AE上一點，射線BM交正方形的一邊于點F，且BF=AE，則BM的長為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：分類討論

分析：分兩種情況進行分析，①當(dāng)BF如圖位置時，②當(dāng)BF為BG位置時；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得BM的長．

解答：解：如圖，當(dāng)BF如圖位置時，
∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM，AF=BE=6，
∵AB=8，BE=6，
∴AE=

AB2+BE2

=

82+62

=10，
過點M作MS⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)知，點S是AB的中點，BS=4，SM是△ABF的中位線，
∴SM=

1

2

BE=

1

2

×6=3，
∴BM=

1

2

AE=

1

2

×10=5，
當(dāng)BF為BG位置時，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG=AE=10，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC=BE：BG，
∴BH=

24

5

．

點評：此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解．