Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，BC=3，點(diǎn)P是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點(diǎn). 連AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求證：△APE∽△ADQ；

（2）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，試求△PEF的面積S△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時(shí)，S△PEF取得最大值？最大值為多少？

（3）當(dāng)Q在何處時(shí)，△ADQ的周長(zhǎng)最��？（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明）

Answer 1

【答案】（1）證∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.

注意到△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，

得S△PEF==. ∴當(dāng)，即P是AD的中點(diǎn)時(shí)，S△PEF取得最大值.

（3）作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連DA′交BC于Q，則這個(gè)點(diǎn)Q就是使△ADQ周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，此時(shí)Q是BC的中點(diǎn).

【解析】（1）證得∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD，即可得到△APE∽△ADQ；

（2）先由△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，

得S△PEF==，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)果；

（3）作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連DA′交BC于Q，則這個(gè)點(diǎn)Q就是使△ADQ周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，此時(shí)Q是BC的中點(diǎn).