Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8．D、E分別是AC、BC邊的中點，點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DE-EB以每秒3個單位長度的速度向點B運動；同時點Q從點A出發(fā)，沿射線AB以每秒2個單位長度的速度運動，當點P與點B重合時，P、Q兩點都停止運動，設點P的運動時間為t秒（t＞0）．
（1）當t=

 

秒時，點P到達終點B．
（2）當點P運動到點D時，求△BPQ的面積．
（3）設△BPQ的面積為S，求出點Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關系式．
（4）當PQ∥DB時，在圖2中，畫出直線PQ所在的大致位置，并求出t的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分別是AC，BC的中點，求出AD、DE、BE，從而求出t的值；
（2）根據(jù)已知求出AD，當點P運動到點D時，得出AP=AD=4，從而求出AQ、QB的值，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案；
（3）分三種情況討論當點P在AD上，點P在DE上，點P在EB上，第一種情況根據(jù)t的取值范圍求出AQ、AB的值，從而得出QB的值，再根據(jù)三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關系式；第二種情況先過點P作PH⊥AB于點H，根據(jù)D、E分別是AC、BC邊的中點，得出DE∥AB，求出PH=AD和QB的值，再根據(jù)三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關系式；第三種情況過點P作PH⊥AB于H，在Rt△ABC中，根據(jù)已知和勾股定理求出CB，再根據(jù)PB=12-3t，sin∠PBQ=

PH

PB

=

CA

CB

，求出PH=

4

5

（12-3t）再根據(jù)三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關系式；
（4）當點Q在AB上時，如果點P在AD上，且滿足PQ∥DB，得出

AP

AD

=

AQ

AB

，求出t；當點Q在AB的延長線上時，過點P作PH⊥AB于點H，根據(jù)PB=12-3t，PH=

4

5

（12-3t），得出BH=

3

5

（12-3t），再根據(jù)BQ=2t-6，求出HQ，再證明出△DAB∽△PHQ，即可求出t的值．

解答：解：（1）已知Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=

AB2+AC2

=

62+82

=10，
∵D，E分別是AC，BC的中點，
∴AD=4，DE=3，BE=5，
∴當點P到達終點B時所用時間t=（4+3+5）÷3=4（秒），
答t的值為4秒．
故答案為：4．

（2）∵AC=8，點D是AC的中點，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

×8=4，
∴當點P運動到點D時，AP=AD=4．
∴AQ=2×

4

3

=

8

3

，QB=AB-AQ=6-

8

3

=

10

3

，
∴S_△BPQ=

1

2

QB•AP=

1

2

×

10

3

×4=

20

3

．

（3）①當點P在AD上，即0≤t≤

4

3

（或0≤t＜

4

3

）時，
∵AQ=2t＜6，AB=6，∴QB=6-2t＞0，
又∵AP=3t，
∴S=

1

2

QB•AP=

1

2

（6-2t）×3t，即S=-3t²+9t．
②當點P在DE上，即

4

3

＜t≤

7

3

（或

4

3

≤t≤

7

3

）時，
過點P作PH⊥AB于點H，
∵D、E分別是AC、BC邊的中點，∴DE∥AB，∴PH=AD=4．
又QB=6-2t＞0，
∴S=

1

2

QB•PH=

1

2

（6-2t）×4，即S=-4t+12．
③當點P在EB上，且

7

3

＜t≤3（或

7

3

≤t≤3）時，
過點P作PH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴CB=

AB2+AC2

=

62+82

=10．
∵PB=12-3t，
∴sin∠PBQ=

PH

PB

=

CA

CB

，
即

PH

12-3t

=

8

10

，
∴PH=

4

5

（12-3t）． 
又∵QB=6-2t≥0，
∴S=

1

2

QB•PH=

1

2

（6-2t）×

4

5

（12-3t），即S=

12

5

t²-

84

5

t+

144

5

． 

（4）當點Q在AB上時，如果點P在AD上，且滿足PQ∥DB，則有：

AP

AD

=

AQ

AB

，即

3t

4

=

2t

6

，解得t=0（不合題意，舍去）． 

點Q在AB的延長線上時，直線PQ所在的大致位置如圖所示：

過點P作PH⊥AB于點H，
∵PB=12-3t，PH=

4

5

（12-3t），
∴BH=

3

5

（12-3t），
又∵BQ=2t-6，
∴HQ=

3

5

（12-3t）+2t-6=

1

5

(t+6)，
∵PQ∥DB，
∴∠DBA=∠PQH，
又∵∠A=∠PHQ，
∴△DAB∽△PHQ，
∴

DA

PH

=

AB

HQ

，即

4

4 5 (12-3t)

=

6

1 5 (t-6)

，
解得t=

66

19

．

點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是勾股定理、三角形中位線定理及相似三角形的判定與性質等，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分情況進行討論，避免出現(xiàn)漏解．