Question

【題目】（1）如圖（a）所示點(diǎn)D是等邊邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊，連接AF．你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明．

（2）如圖（b）所示當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（直接寫出結(jié)論）

（3）①如圖（c）所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊和等邊，連接AF、，探究AF、與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明．

②如圖（d）所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與（3）①相同，①中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明．

Answer 1

【答案】（1）AF=BD，理由見解析；（2）AF=BD，成立；（3）①，證明見解析；②①中的結(jié)論不成立新的結(jié)論是，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊、三個(gè)內(nèi)角都相等的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可證得，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知 ．

（2）通過證明，即可證明．

（3）① ，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊 ，同理 ，則 ，所以；

②①中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是 ，通過證明，則（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），再結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證得 ．

（1）

證明如下：是等邊三角形，

，．

同理可得：，．

．

即．

．

．

（2）證明過程同（1），證得，則（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，依然成立．

（3）①

證明：由（1）知，．

．

同理．

．

．

②①中的結(jié)論不成立新的結(jié)論是；

，，，

．

．

又由（2）知，．

．

即．