Question

如圖所示，已知AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC．求證：AB=BO．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：過D作BC的垂線交BC于M點，過A作BC的垂線交BC于N點，因此AM∥DN，因為AD∥BC，所以DN=AM，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出BC=2DN=2AM，即AC=2AM，由于∠AMC為直角，所以∠ACB=30°，求出∠AOB=75°，∠OAB=75°，根據(jù)等角對等邊即可得出答案．

解答：證明：過D作BC的垂線交BC于M點，過A作BC的垂線交BC于N點，則AM∥DN，
∵AD∥BC，
∴四邊形AMND是矩形，
∴DN=AM，
∵BD⊥CD，BD=CD，
∴△BDC為等腰直角三角形，
∴BC=2DN=2AM，
∵AC=BC，
∴AC=2AM，
∵∠AMC為直角，
∴∠ACB=30°，
∴∠AOB=45°+30°=75°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=

1

2

（180°-∠ACB）=

1

2

（180-30）=75°，
∴∠AOB=∠OAB，
∴AB=BO．

點評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，綜合性比較強，有一定的難度．