Question

對于拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），下列說法：
①若b²-4ac=0，則拋物線頂點一定在x軸上；
②若a＞0，且一元二次方程ax²+bx+c=0有兩根x₁，x₂（x₁＜x₂），則ax²+bx+c＜0的解集為x₁＜x＜x₂；
③若b²＜3ac，則y=ax²+bx+c與x軸一定沒有交點；
④若b=3a+

c

3

，則方程ax²+bx+c=0有一根為-3．
其中正確的是（　�。�

• A、①②③④
• B、只有①③
• C、只有①③④
• D、只有③④

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：利用拋物線與x軸的交點問題判斷①正確；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征判斷出②正確；進而利用拋物線與坐標(biāo)軸交點個數(shù)確定方法以及方程根的性質(zhì)求出即可．

解答：解：①若b²-4ac=0，則ax²+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，所以，拋物線的頂點一定在x軸上，故本小題正確；
②a＞0，拋物線開口向上，ax²+bx+c＜0的解集為x₁＜x＜x₂，故本小題正確；
③∵b²＜3ac，∴b²-3ac＜0，
∴b²-4ac＜0，∴y=ax²+bx+c與x軸一定沒有交點，故此選項正確；
④若b=3a+

c

3

，則9a-3b+c=0，所以方程ax²+bx+c=0有一根為-3，故此選項正確；
綜上所述，正確的是①②③④．
故選：A．

點評：本題考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點，綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．