Question

如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC，交直線BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D．
（1）過點(diǎn)D作MN∥BC，求證：MN是⊙O切線；
（2）求證：AB•AC=AD•AE；
（3）如圖2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，EA的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．結(jié)論AB•AC=AD•AE是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)寫出證明過程；如果不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想證MN是⊙O的切線，只要連接OD，求證OD⊥MN即可．
（2）欲證AB•AC=AD•AE，只需連接CD，AD平分∠BAC知∠BAD=∠CAD，圓周角知∠B=∠D，證明△ABE∽△ADC得出比例關(guān)系即可；
（3）欲證AB•AC=AD•AE，證明△AEC∽△ABD即可．
解答：證明：（1）連接OD交BC于點(diǎn)H，
∵AD平分∠BAC，
∴．
∴OD⊥BC于H．
∵BC∥MN，
∴OD⊥MN于點(diǎn)D．
∴MN是⊙O的切線．

（2）連接CD，
∵∠ABE=∠ADC，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC．
∴．
∴AB•AC=AD•AE．

（3）結(jié)論AB•AC=AD•AE仍然成立．
連接BD，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE=∠CAE．
∴∠CAE=∠FAE=∠BAD．
∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ACE=∠BDA．
∴△AEC∽△ABD．
∴．
∴AB•AC=AD•AE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過相似三角形的性質(zhì)得出．