Question

【題目】已知，如圖，二次函數(shù)（）圖象的頂點(diǎn)為，與軸交于、兩點(diǎn)（在點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱.

（1）坐標(biāo)為 ；坐標(biāo)為： ；坐標(biāo)為 ；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得最大？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的面積；

（4）過(guò)點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)，，分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、、，求和的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）存在，的面積為；（4）的最小值為8.

【解析】

（1）由直線的解析式可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸可知點(diǎn)B的坐標(biāo)；然后根據(jù)直線的解析式和點(diǎn)、的橫坐標(biāo)確定HB與直線的交點(diǎn)在y軸上，最后根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性求解即可；

（2）將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求解即可；

（3）先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定點(diǎn)P的位置，再求出其坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；

（4）先求出點(diǎn)K的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短求出的最小值為BM，然后再次利用兩點(diǎn)之間線段最短求出的最小值，即為最小值，最后利用勾股定理求解即可.

（1）令，代入直線的解析式得：

解得：，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

如圖1，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為C

令，代入直線的解析式得：，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，二次函數(shù)頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，并且點(diǎn)、的橫坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

則HB與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)

因此，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)H的坐標(biāo)為

綜上，；

（2）把代入得：

解得：

故二次函數(shù)解析式為；

（3）由三角形的三邊關(guān)系得：

則當(dāng)P、H、A三點(diǎn)共線時(shí)，最大，最大值為AH

此時(shí)，點(diǎn)P為直線與AH所在直線的交點(diǎn)

設(shè)直線的解析式為

將和代入得：

解得：，則直線AH的解析式為

聯(lián)立，解得

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

故此時(shí)的面積為

綜上，存在這樣的點(diǎn)P，使得最大，此時(shí)的面積為；

（4）∵過(guò)點(diǎn)作直線，直線AH的解析式為

∴直線的解析式為中的

又因?yàn)?/span>在直線上，代入求出

∴直線的析解式為：

聯(lián)立，解得：

∴交點(diǎn)的坐標(biāo)是

則

∵點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱

∴的最小值是

如圖2，過(guò)作軸于，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線于

則，，，

∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短公理得出的最小值是

即的長(zhǎng)是的最小值

∵

∴

由勾股定理得

故的最小值為8.