Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），對角線OB、AC相交于點(diǎn)D，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，交BC的延長線于E點(diǎn)，且∠AOC=60°，則有下列四個(gè)結(jié)論：
①雙曲線的解析式為y=

3 3

x

（x＞0）；②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（

3

2

，2

3

）；③S_OABC=8

3

；④AC+OB=8

3

．
其中正確的是

 

（填序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，對角線OB、AC相交于D點(diǎn)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出雙曲線y=

k

x

（x＞0）的解析式，由反比例函數(shù)的解析式與直線BC的解析式聯(lián)立即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；可求出∠COA的正弦值；根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出AC的長，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求得OB的長．

解答：解：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵∠AOC=60°，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
∴OF=2，CF=2

3

，
∴C（2，2

3

），
∵點(diǎn)D時(shí)線段AC的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

4+2

2

，

3

），即（3，

3

），
∵雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，
∴

3

=

k

3

，即k=3

3

，
∴雙曲線的解析式為：y=

3 3

x

（x＞0），故①正確；
∵CF=2

3

，
∴直線CB的解析式為y=2

3

，
∴

y=2 3 y= 3 3 x

，
解得x=

3

2

，y=2

3

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，2

3

），故②正確；
∵CF=2

3

，OA=4，
∴S_菱形OABC=4×2

3

=8

3

，
故③正確；
∵∠AOC=60°，OC=OA
∴△OAC是等邊三角形，
∴AC=OA=4，
OB=

(2 3 )2+62

=4

3

，
∴AC+OB=4+4

3

，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等相關(guān)知識，難度適中．