【題目】若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),abc≠0)與直線l都經(jīng)過y軸上的同一點,且拋物線L的頂點在直線l上,則稱次拋物線L與直線l具有“一帶一路”關(guān)系,并且將直線l叫做拋物線L的“路線”,拋物線L叫做直線l的“帶線”.
(1)若“路線”l的表達式為y=2x﹣4,它的“帶線”L的頂點的橫坐標為﹣1,求“帶線”L的表達式;
(2)如果拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關(guān)系,求m,n的值;
(3)設(shè)(2)中的“帶線”L與它的“路線”l在y軸上的交點為A.已知點P為“帶線”L上的點,當以點P為圓心的圓與“路線”l相切于點A時,求出點P的坐標.
【答案】(1)“帶線”L的表達式為y=2x2+4x﹣4;(2)m=2,n=﹣2;(3)點P的坐標為(, ).
【解析】試題分析:
(1)由“路線l”的表達式為:y=2x-4可得,“路線l”與y軸交于點(0,-4);把x=-1代入y=2x-4可得y=-6,由此可得“帶線L”的頂點坐標為(-1,-6),結(jié)合“帶線L”過點(0,-4)即可求得“帶線L”的解析式;
(2)由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“帶線L”的頂點坐標為(1,-1),與y軸交于點(0,m-1),把這兩個點的坐標代入y=nx+1即可求得m、n的值;
(3)如圖,由(2)可知,若設(shè)“帶線L”的頂點為B,則點B坐標為(1,﹣1),過點B作BC⊥y軸于點C,連接PA并延長交x軸于點D,由⊙P與“路線”l相切于點A可得PD⊥l于點A,由此證Rt△AOD≌Rt△BCA即可求得點D的坐標,結(jié)合點A的坐標即可求得AD的解析式為y=x+1,由AD的解析式和“帶線L”的解析式組成方程組,解方程組即可求得點P的坐標.
試題解析:
((1)∵“帶線”L的頂點橫坐標是﹣1,且它的“路線”l的表達式為y=2x﹣4
∴y=2×(﹣1)﹣4=﹣6,
∴“帶線”L的頂點坐標為(﹣1,﹣6).
設(shè)L的表達式為y=a(x+1)2﹣6,
∵“路線”y=2x﹣4與y軸的交點坐標為(0,﹣4)
∴“帶線”L也經(jīng)過點(0,﹣4),將(0,﹣4)代入L的表達式,解得a=2
∴“帶線”L的表達式為 y=2(x+1)2﹣6=2x2+4x﹣4;
(2)∵直線y=nx+1與y軸的交點坐標為(0,1),
∴拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與y軸的交點坐標也為(0,1),解得m=2,
∴拋物線表達式為y=2x2﹣4x+1,其頂點坐標為(1,﹣1)
∴直線y=nx+1經(jīng)過點(1,﹣1),解得n=﹣2;
(3)如圖,設(shè)“帶線L”的頂點為B,則點B坐標為(1,﹣1),過點B作BC⊥y軸于點C,
∴∠BCA=90°,
又∵點A 坐標為(0,1),
∴AO=1,BC=1,AC=2.
∵“路線”l是經(jīng)過點A、B的直線
且⊙P與“路線”l相切于點A,連接PA交 x軸于點D,
∴PA⊥AB,
∴∠DAB=∠AOD=90°,
∴∠ADO+∠DAO=90°,
又∵∠DAO+∠BAC=90°,
∴∠ADO=∠BAC,
∴Rt△AOD≌Rt△BCA,
∴OD=AC=2,
∴D點坐標為(﹣2,0)
∴經(jīng)過點D、A的直線表達式為y=x+1,
∵點P為直線y=x+1與拋物線L:y=2x2﹣4x+1的交點,
解方程組: 得 : (即點A舍去), ,
∴點P的坐標為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為H、G,直線HG交OA、OB于點C、D,若∠HOG=80°,則∠CPD=___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知 AD 為△ABC 的高線,AD=BC,以 AB 為底邊作等腰 Rt△ABE,連接 ED, EC,延長CE 交AD 于F 點,下列結(jié)論:①△ADE≌△BCE;②CE⊥DE;③BD=AF;④S△BDE=S△ACE,其中正確的有( )
A. ①③B. ①②④C. ①②③④D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分8分)某廠制作甲、乙兩種環(huán)保包裝盒。已知同樣用6m的材料制成甲盒的個數(shù)比制成乙盒的個數(shù)少2個,且制成一個甲盒比制作一個乙盒需要多用20%的材料。
(1)求制作每個甲盒、乙盒各用多少材料?
(2)如果制作甲、乙兩種包裝盒3000個,且甲盒的數(shù)量不少于乙盒數(shù)量的2倍,那么請寫出所需材料總長度與甲盒數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出最少需要多少米材料。
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【題目】(本小題滿分10分)
問題提出:用n根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?
問題探究:不妨假設(shè)能搭成種不同的等腰三角形,為探究之間的關(guān)系,我們可以從特殊入手,通過試驗、觀察、類比,最后歸納、猜測得出結(jié)論.
探究一:
用3根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
此時,顯然能搭成一種等腰三角形。所以,當時,
用4根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況,不能搭成三角形
所以,當時,
用5根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,則不能搭成三角形
若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒,則能搭成一種等腰三角形
所以,當時,
用6根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,則不能搭成三角形
若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒,則能搭成一種等腰三角形
所以,當時,
綜上所述,可得表①
3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | 0 | 1 | 1 |
探究二:
用7根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的等腰三角形?
(仿照上述探究方法,寫出解答過程,并把結(jié)果填在表②中)
分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的等腰三角形?
(只需把結(jié)果填在表②中)
7 | 8 | 9 | 10 | |
你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究,……
解決問題:用根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?
(設(shè)分別等于、、、,其中是整數(shù),把結(jié)果填在表③中)
問題應(yīng)用:用2016根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?(要求寫出解答過程)
其中面積最大的等腰三角形每個腰用了__________________根木棒。(只填結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,E,F(xiàn)為BD所在直線上的兩點.若AE= ,∠EAF=135°,則以下結(jié)論正確的是( )
A. DE=1 B. tan∠AFO= C. AF= D. 四邊形AFCE的面積為
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C任作一射線CM,交AB于M,分別過A,B作AE⊥CM,BF⊥CM,垂足分別為E,F.
(1)求證:∠ACE=∠CBF;
(2)求證:AE=CF;
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【題目】中央電視臺的“中國詩詞大賽”節(jié)目文化品位高,內(nèi)容豐富,某校初二年級模擬開展“中國詩詞大賽”比賽,對全年級同學(xué)成績進行統(tǒng)計后分為“優(yōu)秀”、“良好”、“一般”、“較差”四個等級,并根據(jù)成績繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息,回答下列問題:
(1)扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”所對應(yīng)的扇形的圓心角為 度,并將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(2)此次比賽有四名同學(xué)活動滿分,分別是甲、乙、丙、丁,現(xiàn)從這四名同學(xué)中挑選兩名同學(xué)參加學(xué)校舉行的“中國詩詞大賽”比賽,請用列表法或畫樹狀圖法,求出選中的兩名同學(xué)恰好是甲、丁的概率.
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【題目】國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》,這是中國足球史上的重大改革,為進一步普及足球知識,傳播足球文化,我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了“足球在身邊”知識競賽,各類獲獎學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示,其中獲得三等獎的學(xué)生共50名,請結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)獲得一等獎的學(xué)生人數(shù);
(2)在本次知識競賽活動中,A,B,C,D四所學(xué)校表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四所學(xué)校中隨機選取兩所學(xué)校舉行一場足球友誼賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學(xué)校的概率.
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