【題目】如圖(1),∠AOB=45°,點(diǎn)P、Q分別是邊OA,OB上的兩點(diǎn),且OP=2cm.將∠O沿PQ折疊,點(diǎn)O落在平面內(nèi)點(diǎn)C處.

(1)當(dāng)PC∥QB時(shí),OQ=;
(2)當(dāng)PC⊥QB時(shí),求OQ的長(zhǎng).
(3)當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí),求OQ的長(zhǎng).

【答案】
(1)2cm
(2)解:當(dāng)PC⊥QB時(shí),分兩種情況:

(i)如圖1所示:

設(shè)OQ=xcm,

∵∠O=45°,

∴△OPM是等腰直角三角形,

∴OM= OP= ,

∴QM= ﹣x,

由折疊的性質(zhì)得:∠C=∠O=45°,CQ=OQ=x,

∴△CQM是等腰直角三角形,

∴QC= QM

∴x= ﹣x),

解得:x=2 ﹣2,

即OQ=2 ﹣2;

(ii)如圖2所示:

同(i)得:OQ=2 +2;

綜上所述:當(dāng)PC⊥QB時(shí),OQ的長(zhǎng)為2 ﹣2,或2 +2


(3)

解:當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí),符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè);

①點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部時(shí),四邊形OPCQ是菱形,OQ=OP=2cm;

②當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的一邊上時(shí),△OPQ是等腰直角三角形,OQ= 或2

③當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí),分兩種情況:

(i)如圖3所示:

PM=PQ,則∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ,

由折疊的性質(zhì)得:∠OPQ=∠MPQ,

設(shè)∠OPQ=∠MPQ=x,

則∠PMQ=∠PQM=45°+x,

在△OPM中,由三角形內(nèi)角和定理得:45°+x+x+45°+x=180°,

解得:x=30°,

∴∠OPQ=30°,

作QN⊥OP于N,設(shè)ON=a,

∵∠O=45°,

則QN=ON=a,OQ= a,PN= QN= a,

∵ON+PN=OP,

∴a+ a=2,

解得:a= ﹣1,

∴OQ= ﹣1)= ;

(ii)如圖4所示:

PQ=MQ,作QN⊥OA于N,

同①得:OQ= + ;

綜上所述:當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí),OQ的長(zhǎng)為2cm或(2 ﹣2,)cm或(2 +2)cm或( )cm或( + )cm.


【解析】解:(1)當(dāng)PC∥QB時(shí),∠O=∠CPA,
由折疊的性質(zhì)得:∠C=∠O,OP=CP,
∴∠CPA=∠C,
∴OP∥QC,
∴四邊形OPCQ是平行四邊形,
∴四邊形OPCQ是菱形,
∴OQ=OP=2cm;
所以答案是:2cm;

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證:AE=DF;

(2)如圖2,連接EF,

①是否存在t,使得四邊形AEFD為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由

②連接DE,當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí),求t的值

圖1 圖2 備用圖 備用圖

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