Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，EF=FC．

（1）求證：CF是⊙O的切線．

（2）設(shè)⊙O的半徑為2，且AC=CE，求AM的長．

　

Answer 1

【考點】切線的判定；勾股定理．

【專題】證明題．

【分析】（1）連接OC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用∠B=2∠A可計算出∠B=60°，∠A=30°，易得∠E=30°，接著由EF=FC得到∠ECF=∠E=30°，所以∠FCA=60°，加上∠OCA=∠A=30°，所以∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，于是可根據(jù)切線的判定得到FC是⊙O的切線；

（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．在Rt△ABC中可計算出BC=AB=2，AC=BC=2，則CE=2，所以BE=BC+CE=2+2，然后在Rt△BEM中計算出BM=BE=1+，

再計算AB﹣BM的值即可．

【解答】（1）證明：連接OC，如圖，

∵⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，

∴AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°，

∵EM⊥AB，

∴∠EMB=90°，

在Rt△EMB中，∠B=60°，

∴∠E=30°，

又∵EF=FC，

∴∠ECF=∠E=30°，

又∵∠ECA=90°，

∴∠FCA=60°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，

∴OC⊥CF，

∴FC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，

∴BC=AB=2，AC=BC=2，

∵AC=CE，

∴CE=2，

∴BE=BC+CE=2+2，

在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠E=30°

∴BM=BE=1+，

∴AM=AB﹣BM=4﹣1﹣=3﹣．

【點評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．