Question

如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)AP、CP，延長CP交AD于E，交BA的延長線于F．

（1）求證：∠DCP=∠DAP；

（2）若AB=2，DP:PB=1:2，且PA⊥BF，求對(duì)角線BD的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD=AD，∠CDP=∠ADP．

∵DP=DP，

∴△CDP≌△ADP．

∴∠DCP=∠DAP．

（2）【解析】
∵CD∥BA，

∴△CDP∽△FPB．

∴．

∵CD=BA，

∴BA=AF．

∵PA⊥BF，

∴PB=PF．

∴∠PBA=∠PFA．

∴∠PCD=∠PDC．

∴PD =PC=PA．

∴BD=BP+PD．

∵，

∴．

在Rt△ABP中，，

∵AB=2，

∴，．

∴．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BDC=∠BDA，利用“邊角邊”證明△APD和△CPD全等，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（2）由CD∥BA， 可得△CDP∽△FPB，解直角三角形求出PB，再求出PD，根據(jù)BD=BP+PD計(jì)算即可．

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).