Question

通過對蘇科版九（上）教材一道習題的探索研究，“在一次聚會中，有45個人，每兩個參加聚會的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”
對這個問題，我們可以作這樣的假設：第1個學生分別與其他44個學生握手，可握44次手；第2個學生也分別與其他44個學生握手，可握44次手；…依此類推，第45個學生與其他44個學生握手，可握44次手，如此共有45×44次握手，顯然此時每兩人之間都按握了兩次手進行計算的．因此，按照題意，45個人每兩人之間握一次手共握了

45×44

2

=990次手．像這樣解決問題的方法我們不妨稱它為“握手解法”．
（1）若本次聚會共有n個人，每兩個參加聚會的人都互相握了一次手，一共握了

 

次手．請靈活運用這一知識解決下列問題．
（2）一個QQ群中有若干好友，每個好友都分別給群里其他好友發(fā)送了一條信息，這樣共有756條信息，這個QQ群中共有多少個好友？
（3）已知一條直線上共有5個點，那么這條直線上共有幾條線段？
（4）利用（3）的結論解決問題：已知由邊長為1的正方形拼成如圖所示的矩形ABCD，圖中共有①多少個矩形？②多少個正方形？

Answer 1

考點：一元二次方程的應用,規(guī)律型：圖形的變化類

專題：

分析：（1）根據閱讀材料得到規(guī)律；
（2）、（3）利用（1）中的規(guī)律進行答題；
（4）利用列表法進行解答．

解答：解：（1）利用“握手解法”得到

n(n-1)

2

．
故答案是：

n(n-1)

2

．

（2）設這個QQ群中共有n個好友，
依題意，得

n(n-1)

2

=756，
解得 n=28．
答：這個QQ群中共有28個好友；

（3）

5×4

2

=10．
答：一條直線上共有5個點，那么這條直線上共有10條線段；

（4）①圖中AD上有6個點，可得AD上有

6×5

2

=15條線段；AB上有5個點，可得AB上有

5×4

2

=10條線段．而AD上任意一條線段與AB上任一條線段“握手”，都會構成一個矩形，所以圖中共有mn=15×10=150個矩形；

②AD上的線段與AB上的線段“握手”時，要構成正方形，就要去“握手”的兩條線段必須相等．如下表：

線段長度	AD上的條數(shù)	AB上的條數(shù)	“握手”次數(shù)
1	5	4	5×4=20
2	4	3	4×3=12
3	3	2	3×2=6
4	2	1	2×1=2

由表中可得，共“握手”20+12+2=40次，即圖中共有40個正方形．

點評：本題考查了一元二次方程的應用和圖形的變化規(guī)律．掌握“握手解法”的通式是解題的關鍵．