Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．把直線y=-x-3沿y軸翻折后恰好經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在坐標(biāo)軸上是否存在這樣的點(diǎn)F，使得∠DFB=∠DCB？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，依題意，把直線y=-x-3沿y軸翻折后經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴c=-3．
∴-9+3b-3=0．
解得b=4．
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3．

（2）在坐標(biāo)軸上存在這樣的點(diǎn)F，使得∠DFB=∠DCB．
拋物線y=-x²+4x-3的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）．
設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，
在Rt△DEB中，DE=BE=1，
∴∠DBE=45°．
在Rt△OBC中，OB=OC=3，
∴∠OBC=45°．
∴∠DBC=90°．
在Rt△DBC中，，
∴．
∵DE⊥x軸，DE=1，
∴在x軸上存在EF₁=3，EF₂=3．
∴符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為F₁（-1，0）或F₂（5，0）
過點(diǎn)D作DF₃⊥y軸于F₃，
∴點(diǎn)F₃的坐標(biāo)為（0，1）．
∵在Rt△F₃BO中，，
又∵DF₃∥x軸，
∴∠DF₃B=∠F₃BO．
∴點(diǎn)F₃（0，1）也是符合題意的點(diǎn)
綜上，符合題意的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，0）、F₂（5，0）或（0，1）．
分析：（1）通過對(duì)稱確定B點(diǎn)坐標(biāo)，再求b，c．
（2）首先證明△DCB為直角三角形，得到∠DCB的正切值，由此得到通過∠DFB的正切值，由于F點(diǎn)可在B點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)，也可能在x軸或y軸，因此要分類討論來確定F點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：關(guān)于對(duì)稱兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系可通過數(shù)形結(jié)合理解．對(duì)于此類存在型問題，對(duì)已經(jīng)確定的因素分析清楚，如△BCD，分析的結(jié)果是它是直角三角形，得到角DCB正切值，找到突破口，同時(shí)要注意分類討論．