Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于點M．
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最��？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；
（2）點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標(biāo)為（6，4），連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小，可求出直線BA′的解析式，即可得出點P的坐標(biāo)．
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N（t，

4

5

t²-

24

5

t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．

解答：解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），
把點A（0，4）代入上式得：a=

4

5

，
∴y=

4

5

（x-1）（x-5）=

4

5

x²-

24

5

x+4=

4

5

（x-3）²-

16

5

，
∴拋物線的對稱軸是：x=3；
（2）P點坐標(biāo)為（3，

8

5

）．
理由如下：
∵點A（0，4），拋物線的對稱軸是x=3，
∴點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標(biāo)為（6，4）
如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最�。�

設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得

4=6k+b 0=k+b

，
解得

k= 4 5 b=- 4 5

，
∴y=

4

5

x-

4

5

，
∵點P的橫坐標(biāo)為3，
∴y=

4

5

×3-

4

5

=

8

5

，
∴P（3，

8

5

）．
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．
設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N（t，

4

5

t²-

24

5

t+4）（0＜t＜5），
如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，

由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=-

4

5

x+4，
把x=t代入得：y=-

4

5

t+4，則G（t，-

4

5

t+4），
此時：NG=-

4

5

t+4-（

4

5

t²-

24

5

t+4）=-

4

5

t²+4t，
∵AD+CF=CO=5，
∴S_△ACN=S_△ANG+S_△CGN=

1

2

AM×NG+

1

2

NG×CF=

1

2

NG•OC=

1

2

×（-

4

5

t²+4t）×5=-2t²+10t=-2（t-

5

2

）²+

25

2

，
∴當(dāng)t=

5

2

時，△CAN面積的最大值為

25

2

，
由t=

5

2

，得：y=

4

5

t²-

24

5

t+4=-3，
∴N（

5

2

，-3）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用．