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如圖①,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,ACB=∠EDF=90°,且點D在AB邊上,AB、EF的中點均為O,連結(jié)BF、CD、CO,顯然點C、F、O在同一條直線上,可以證明△BOF≌△COD,則BF=CD.解決問題:
(1)將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖③,若△ABC與△DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點均為O,上述(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?如果成立,請說明理由;如不成立,請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖④,若△ABC與△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點均為0,且頂角∠ACB=∠EDF=α,請直接寫出的值(用含α的式子表示出來)

(1)BF=CD.證明詳見解析;(2)不成立,;(3).

解析試題分析:本題是幾何綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì).解題關(guān)鍵是:第一,善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系,即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD;第二,熟練運用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì).本題(1)(2)(3)問的解題思路一脈相承,由特殊到一般,有利于同學(xué)們進行學(xué)習(xí)與探究.(1)如答圖②所示,連接OC、OD,證明△BOF≌△COD,即可得到BF=CD;
(2)如答圖③所示,連接OC、OD,可證明△BOF∽△COD,進而求出相似比為 ;(3)如答圖④所示,連接OC、OD,證明△BOF∽△COD,進而可求相似比為.
試題解析:
解:(1)猜想:BF=CD.理由如下:如答圖②所示,連接OC、OD.

∵△ABC為等腰直角三角形,點O為斜邊AB的中點,
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵△DEF為等腰直角三角形,點O為斜邊EF的中點,
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
∵在△BOF與△COD中,
∴△BOF≌△COD(SAS),
∴BF=CD.
(2)答:(1)中的結(jié)論不成立.
如答圖③所示,連接OC、OD.

∵△ABC為等邊三角形,點O為邊AB的中點,
 ,∠BOC=90°
∵△DEF為等邊三角形,點O為邊EF的中點,
,∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF與△COD中,
,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
 .
(3)如答圖④所示,連接OC、OD.

∵△ABC為等邊三角形,點O為邊AB的中點,
 ,∠BOC=90°
∵△DEF為等邊三角形,點O為邊EF的中點,
,∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF與△COD中,
,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
 .
考點:幾何圖形變換綜合題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓,兩人準(zhǔn)備用測量影子的方法測算其樓高,但恰逢陰天,于是兩人商定改用下面方法:如圖,亮亮蹲在地上,穎穎站在亮亮和樓之間,兩人適當(dāng)調(diào)整自己的位置,當(dāng)樓的頂部,穎穎的頭頂及亮亮的眼睛恰在一條直線上時,兩人分別標(biāo)定自己的位置,.然后測出兩人之間的距離,穎穎與樓之間的距離,,在一條直線上),穎穎的身高,亮亮蹲地觀測時眼睛到地面的距離.你能根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)幫助他們求出住宅樓的高度嗎?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在△ABC中,∠B= 90°,點P從A點開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動,點Q從B點開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動。

(1)如果P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘,△PBQ的面積等于8厘米2?
(2)如果P、Q兩分別從A、B兩點同時出發(fā),并且P到B又繼續(xù)在BC邊上前進,Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進,經(jīng)過幾秒鐘,△PCQ的面積等于12﹒6厘米2 ?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平行四邊形中,過點,垂足為點,連接,為線段上一點,且

(1)求證:;
(2)若,,,求的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱(點A的對稱點是點C),點E、F分別是線段BC和線段BD上的點,且點F在線段EC的垂直平分線上,聯(lián)結(jié)AF、AE,交BD于點G.
(1)如圖(1),求證:∠EAF=∠ABD;

圖(1)
(2)如圖(2),當(dāng)AB=AD時,M是線段AG上一點,聯(lián)結(jié)BM、ED、MF,MF的延長線交ED于點N,∠MBF=∠BAF,AF=AD,試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

圖(2)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:如圖,在⊙O中,直徑AB⊥CD于點E,連接BC.

(1)線段BC、BE、AB應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是      
(2)若點P是優(yōu)弧上一點(不與點C、A、D重合),連接BP與CD交于點G.
請完成下面四個任務(wù):
①根據(jù)已知畫出完整圖形,并標(biāo)出相應(yīng)字母;
②在正確完成①的基礎(chǔ)上,猜想線段BC、BG、BP應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是       ;
③證明你在②中的猜想是正確的;
④點P′恰恰是你選擇的點P關(guān)于直徑AB的對稱點,那么按照要求畫出圖形后在②中的猜想仍然正確嗎?    ;(填正確或者不正確,不需證明)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上一點,且∠AED =∠B.若AE=5,AB=9,CB=6.

(1)求證:△ADE∽△ACB;(2)求ED的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:正方形ABCD的邊長為1,射線AE與射線BC交于點E,射線AF與射線CD交于點F,∠EAF=45°.
(1)如圖1,當(dāng)點E在線段BC上時,試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想.

(2)設(shè)BE=x,DF=y,當(dāng)點E在線段BC上運動時(不包括點B、C),如圖1,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍.
(3)當(dāng)點E在射線BC上運動時(不含端點B),點F在射線CD上運動.試判斷以E為圓心以BE為半徑的⊙E和以F為圓心以FD為半徑的⊙F之間的位置關(guān)系.
(4)當(dāng)點E在BC延長線上時,設(shè)AE與CD交于點G,如圖2.問⊿EGF與⊿EFA能否相似,若能相似,求出BE的值,若不可能相似,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,矩形ABCD中,以對角線BD為一邊構(gòu)造一個矩形BDEF,使得另一邊EF過原矩形的頂點C.

(1)設(shè)Rt△CBD的面積為S1, Rt△BFC的面積為S2, Rt△DCE的面積為S3 , 則S1       S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空);
(2)寫出圖中的三對相似三角形,并選擇其中一對進行證明.

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同步練習(xí)冊答案