Question

已知拋物線y=x²-k的頂點(diǎn)為P，與x軸交于點(diǎn)A，B，且△ABP是正三角形，則k的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)拋物線y=x²-k的頂點(diǎn)為P，可直接求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OP的長(zhǎng)度，又因?yàn)椤鰽BP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用銳角三角函數(shù)即可求出OB的長(zhǎng)度，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求出k的值．

解答：解：∵拋物線y=x²-k的頂點(diǎn)為P，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，-k），
∴PO=k，
∵拋物線y=x²-k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°=

OB

OP

=

OB

k

，
∴OB=

3

3

k，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（

3

3

k，0），點(diǎn)B在拋物線y=x²-k上，
∴將B點(diǎn)代入y=x²-k，得：
0=（

3

3

k）²-k，
整理得：

k2

3

-k=0，
解得：k₁=0（不合題意舍去），k₂=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及正三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值問(wèn)題等知識(shí)，求出A或B點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．