Question

設(shè)m、n、p、q為非負(fù)整數(shù)，且對(duì)于一切x＞0，

(x+1)m

xn

-1=

(x+1)p

xq

恒成立，則（m²+mn+p）^2q=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，對(duì)于一切x＞0，

(x+1)m

xn

-1=

(x+1)p

xq

恒成立．取x=1和x=2兩個(gè)特殊值，分別得出m，n，p，q的值．然后得出結(jié)果．

解答：解：由于

(x+1)m

xn

-1=

(x+1)p

xq

對(duì)一切x＞0恒成立，
故取x=1時(shí)，有2^m-1=2^p，由于2^p≠0，2^m-1為奇數(shù)，因此p=0，m=1；
再取x=2，則有

3

2n

-1=

1

2q

，即3-2ⁿ=2^n-q，若n＞q，由上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾；
若n＜q則上式左邊的整數(shù)，右邊為真分?jǐn)?shù)，矛盾，
所以只有n=q=1，
于是：（m²+mn+p）^2q=2²=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的等式應(yīng)用．根據(jù)條件取x的特殊值，得出m，n，p，q的值是解題關(guān)鍵．