【題目】在△ABC中,AB=BC=2,ABC=120°,將△ABC繞點B順時針旋轉角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1BAC于點E,A1C1分別交AC、BCD、F兩點.

(1)如圖1,觀察并猜想,在旋轉過程中,線段BEBF有怎樣的數(shù)量關系?并證明你的結論;

(2)如圖2,當α=30°時,試判斷四邊形BC1DA的形狀,并說明理由.

【答案】(1)BE=DF;(2)四邊形BC1DA是菱形.

【解析】

(1)由AB=BC得到∠A=∠C,再根據(jù)旋轉的性質得AB=BC=BC1,∠A=∠C=∠C1,∠ABE=∠C1BF,則可證明△ABE≌△C1BF,于是得到BE=BF
(2)根據(jù)等腰三角形的性質得∠A=∠C=30°,利用旋轉的性質得∠A1=∠C1=30°,∠ABA1=∠CBC1=30°,則利用平行線的判定方法得到A1C1∥AB,AC∥BC1,于是可判斷四邊形BC1DA是平行四邊形,然后加上AB=BC1可判斷四邊形BC1DA是菱形.

(1)解:BE=DF.理由如下:

∵AB=BC,

∴∠A=∠C,

∵△ABC繞點B順時針旋轉角α(0°<α<90°)得△A1BC1

∴AB=BC=BC1,∠A=∠C=∠C1,∠ABE=∠C1BF,

在△ABE和△C1BF

,

∴△ABE≌△C1BF,

∴BE=BF

(2)解:四邊形BC1DA是菱形.理由如下:

∵AB=BC=2,∠ABC=120°,

∴∠A=∠C=30°,

∴∠A1=∠C1=30°,

∵∠ABA1=∠CBC1=30°,

∴∠ABA1=∠A1,∠CBC1=∠C,

∴A1C1∥AB,AC∥BC1

∴四邊形BC1DA是平行四邊形.

又∵AB=BC1,

∴四邊形BC1DA是菱形

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C03

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(1)B點坐標是 (用含m的代數(shù)式表示),∠ABO= °;

(2)若點N是直線AB與半圓CO的一個公共點(兩個公共點時,N為右側一點),過點N作⊙P的切線交x軸于點E,如圖2.

①是否存在這樣的m的值,使得△EBN是直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

②當時,求m的值.

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(2)如圖 2,當時,的大小為   ;

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A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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