Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以AC、BC為邊分別作正△ACD、正△BCE，連結(jié)AE、BD相交于O．求證：∠AOD=60°．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，再求出∠ACE=∠DCB，然后利用“邊角邊”證明△ACE和△DCB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CAE=∠CDB，再求出∠ODA+∠OAD=120°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．

解答：證明：在正△ACD、正△BCE中，AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=CD ∠ACE=∠DCB BC=CE

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠ODA+∠OAD=∠ODA+∠CAD+∠CAE，
=∠ODA+∠CDB+∠CAD，
=∠CDA+∠CAD，
=120°，
在△OAD中，∠AOD=180°-（∠ODA+∠OAD）=180°-120°=60°，
故：∠AOD=60°．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)并確定出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．