Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y=-x2+2x+3的頂點為A，與x軸交B、C于兩點．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)．
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點D，使以點A、B、C、D頂點為四邊形是平行四邊形，求過A、C、D的拋物線C₂的表達(dá)式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線的解析式中的y=0可求出B，C點的坐標(biāo)，把拋物線的解析式配方可求出A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過A、C、D的拋物線C₂的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，在分類討論：當(dāng)AC為對角線時、AB為對角線時、C為對角線時，分別求出D的坐標(biāo)，把A，C，D點的坐標(biāo)代入求出其解析式即可．

解答：解：（1）設(shè)y=0，則-x²+2x+3=0，
解得：x=-或3，
∴C的坐標(biāo)為（-1，0），B的坐標(biāo)為（3，0），
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點為A的坐標(biāo)為（1，4）；
（2）設(shè)過A、C、D的拋物線C₂的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
①當(dāng)AC為其中的一條對角線時，此時D在第一項象限，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴D的坐標(biāo)為（4，4），
∵頂點為A的坐標(biāo)為（1，4），C的坐標(biāo)為（-1，0），
∴

4=a+b+c 0=a-b+c 4=16a+4b+c

，
解得：

a=- 6 15 b=2 c= 36 15

，
∴y=-

6

15

x²+2x+

36

15

；
②當(dāng)AB為其中的一條對角線時，此時D在第二項象限，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD′=BC，AD′∥BC，
∴D′的坐標(biāo)為（-3，4），
∵頂點為A的坐標(biāo)為（1，4），C的坐標(biāo)為（-1，0），
∴

4=a+b+c 0=a-b+c 4=9a-3b+c

，
解得：

a=1 b=2 c=1

，
∴y=x²+2x+1；
③當(dāng)BC為其中的一條對角線時，此時D在第四項象限，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BD″=AC，BD″∥AC，
∵B（3，0），C（-1，0），
∴BC的中等坐標(biāo)為（

3-1

2

，0），即（1，0）
∴BC，AD″互相平分，
∴D″的坐標(biāo)為（1，-4），
∵頂點為A的坐標(biāo)為（1，4），C的坐標(biāo)為（-1，0），
∴

4=a+b+c 0=a-b+c 0=9a+3b+c

，
此時不存在a，b，c的值，
∴過A、C、D的拋物線C₂的表達(dá)式為y=-

6

15

x²+2x+

36

15

或y=x²+2x+1．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及分類討論的思想，此題不是很難，但是做題時要考慮周全，需要很好的計算能力．