Question

【題目】已知：如圖一，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x-2經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且AB=2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E，D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，（如圖2）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動(dòng)，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；設(shè)s=，當(dāng)t為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值．

（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+x-2．（2）當(dāng)t=1時(shí)，s有最小值，且最小值為1．（3）當(dāng)t=或時(shí)，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)直線AC的解析式確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，已知AB的長(zhǎng)，進(jìn)一步能得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；然后由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．

（2）根據(jù)所給的s表達(dá)式，要解答該題就必須知道ED、OP的長(zhǎng)；BP、CE長(zhǎng)易知，那么由OP=OB-BP求得OP長(zhǎng)，由∠CED的三角函數(shù)值可得到ED的長(zhǎng)，再代入s的表達(dá)式中可得到關(guān)于s、t的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到s的最小值．

（3）首先求出BP、BD的長(zhǎng)，若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，已知的條件是公共角∠OBC，那么必須滿足的條件是夾公共角的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論即可．

試題解析：（1）由直線：y=x-2知：A（2，0）、C（0，-2）；

∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即B（4，0）．

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x-4），代入C（0，-2），得：

a（0-2）（0-4）=-2，解得a=-

∴拋物線的解析式：y=-（x-2）（x-4）=-x2+x-2．

（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則tan∠OCB=2；

∵CE=t，∴DE=2t；

而OP=OB-BP=4-2t；

∴s=（0＜t＜2），

∴當(dāng)t=1時(shí)，s有最小值，且最小值為1．

（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則BC=2；

在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，則CD=t；

∴BD=BC-CD=2-t；

以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，則有兩種情況：

①，解得t=；

②，解得t=；

綜上，當(dāng)t=或時(shí)，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．