Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF交AB于點(diǎn)G，且DE=BF．AE的垂直平分線MN交AE于點(diǎn)N、交EF于點(diǎn)M．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2．
（1）求證：AF=CE；
（2）求△CEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）證得△ABF和△CDE全等后即可證得AF=CE；
（2））連接AM，得到∠FAM=∠CEF=90°，根據(jù)AM=2求得MF=2

2

，從而求得EF=MF+EM=2

2

+2，由此可以得到△CEF的面積=

1

2

CE•EF=

1

2

×2×（2

2

+2）=2

2

+2．

解答：解：（1）證明：∵四邊形BCD是矩形，
∴AB=CD，∠ADC=∠ABC，
∵點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，
∴∠ABC=∠ABF，
∴ADC=∠ABF，
在△ABF和△CDE中

AB=CD ∠ABF=∠EDC BF=DE

∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF=CE

（2）連接AM，
∵M(jìn)N是AE的垂直平分線，
∴AM=EM，
∴∠AEM=∠MAE=

1

2

∠AMF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEM=∠BFG，
∴∠AEM=∠BFG=

1

2

∠AMF
∵∠AFG=2∠BFG=45°，
∴∠BFG=

1

2

∠AFG=22.5°，
∴∠AMF=∠AFM=45°，∠MEA=∠BFE=22.5°，∠CED=∠AFB=67.5°
∴AM=AF，∠FAM=∠CEF=90°，
∵AM=2，
∴AF=AM=CE=EM=2，MF=2

2

∴EF=MF+EM=2

2

+2
∴△CEF的面積=

1

2

CE•EF=

1

2

×2×（2

2

+2）=2

2

+2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)及線段的垂直平分線的性質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，難度較大．