Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+b（b＜0）與坐標軸交于A，B兩點，與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于D點，過點D作DC⊥x軸，垂足為C，連接OD．已知△AOB∽△ACD，相似比為

1

2

．
（1）如果b=-2，求k的值；
（2）試探究k與b的數(shù)量關系，并直接寫出直線OD的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出直線y=2x-2與坐標軸交點的坐標，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐標，由點D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上求出k的值；
（2）首先直線y=2x+b與坐標軸交點的坐標為A（-

b

2

，0），B（0，b），再根據(jù)△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標，把D點坐標代入反比例函數(shù)解析式求出k和b之間的關系，進而也可以求出直線OD的解析式．

解答：解：（1）當b=-2時，直線y=2x-2與坐標軸交點的坐標為A（1，0），B（0，-2）．
∵△AOB∽△ACD，
∴CD=2OB，AO=2AC，
∴點D的坐標為（3，4）．
∵點D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上，
∴k=3×4=12．

（2）直線y=2x+b與坐標軸交點的坐標為A（-

b

2

，0），B（0，b）．
∵△AOB∽△ACD，
∴CD=2OB，AC=2AO，
∴點D的坐標為（

3

2

b，2b）
∵點D在雙曲線y=

k

x

（ x＞0）的圖象上，
∴k=（

3b

2

）•（2b）=3b²，即k與b的數(shù)量關系為：k=3b²．
直線OD的解析式為：y=

4

3

x．

點評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的特征，此題難度不大，是一道不錯的中考試題．