Question

【題目】如圖1，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O是正方形的中心，Q是邊CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)C、D重合），直線(xiàn)AQ與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，AE交BD于點(diǎn)P．設(shè)DQ=x．

（1）填空：當(dāng)時(shí)，的值為　 　；

（2）如圖2，直線(xiàn)EO交AB于點(diǎn)G，若BG=y，求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在第（2）小題的條件下，是否存在點(diǎn)Q，使得PG∥BC？若存在，求x的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=；（3）存在；x=；

【解析】

（1）先根據(jù)平行線(xiàn)分相等成比例定理得出==， =，然后根據(jù)已知條件求得CE=,進(jìn)而求得QE=AE，AP=AE，后即可求得；

（2）過(guò)O作OM⊥AB，ON⊥BC，根據(jù)平行線(xiàn)分相等成比例定理得出CE=，進(jìn)而求得BE=，然后根據(jù)=，即可求得解析式；

（3）根據(jù)PG∥BC求得==，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得出y=，再根據(jù)（2）中求得的解析式解方程組，即可求得．

（1）

∵ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，

∴AD∥BE，

∴==， =，

∵AD=BC=DC=1，DQ=，

∴QC=，

∴=，

∴CE=， =，

∴BE=，QE=AE，

∴=，即=，

∴AP=AE，

∴==；

（2）過(guò)O作OM⊥AB，ON⊥BC，

∵O是正方形的中心，

∴OM=MB=BN=ON=，

∵=，

∴=，

∴CE=，

∴BE=BC+EC=，

∵OM∥BE，

∴△GMO∽△GBE，

∴=，

即=，整理得：（2﹣x）y=1，

∴y=，

∴y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=；

（3）存在；

理由：∵PG∥BC，

∴==，

∵AG=1﹣y，GB=y，AD=1，BE=，

∴=，整理得：y=，

解得x=，

所以當(dāng)x=時(shí)，使得PG∥BC．