Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣4x﹣5與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E．

（1）求直線BC的解析式；
（2）當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意令y=0，即x2﹣4x﹣5=0，

解得x1=﹣1，x2=5，

∴A（﹣1，0），B（5，0）

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5），

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

則

解得k=1，b=﹣5，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣5

（2）解：設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2﹣4m﹣5），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m﹣5），

∵點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，

∴DE的長(zhǎng)度：m﹣5﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m=﹣（m﹣ ）+ ，

∵a=﹣1＜0，

∴當(dāng)m= 時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最大，

此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）

【解析】（1）解一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，表示出D點(diǎn)的坐標(biāo)和E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對(duì)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的理解，了解一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．