Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，交AC于點G，過點D作DE⊥AC于點E，延長ED交AB的延長線于點F．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若AB=13，BC=10．求AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）首先連接OD，由AB=AC，OB=OD，易得∠ABD=∠ODB=∠C，繼而可得OD∥AC，然后由DE⊥AC，證得DE⊥OD，則可得直線EF與⊙O相切．
（2）首先連接AD，由圓周角定理，可得∠ADB=90°，然后由三線合一，可求得BD的長，再由勾股定理，求得AD的長，易證得△AED∽△ADC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答：解：（1）直線EF與⊙O相切．
理由：連接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴直線EF與⊙O相切．

（2）連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC=

1

2

BC=5，
∴AD=

AB2-BD2

=

132-52

=12，
∵∠DAC=∠DAC，∠ADC=∠AED=90°，
∴△AED∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AD

AC

，
即

AE

12

=

12

13

，
解得：AE=

144

13

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．