Question

（1）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題，如圖①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：∠B=30°，請(qǐng)你完成證明過程．

（2）如圖②，四邊形ABCD是一張邊長為2的正方形紙片，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)D的抓痕將紙片翻折，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處，折痕交AE于點(diǎn)G，請(qǐng)運(yùn)用（1）中的結(jié)論求∠ADG的度數(shù)和AG的長．

（3）若矩形紙片ABCD按如圖③所示的方式折疊，B、D兩點(diǎn)恰好重合于一點(diǎn)O（如圖④），當(dāng)AB=6，求EF的長．

Answer 1

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）Rt△ABC中，根據(jù)sinB═=，即可證明∠B=30°；

（2）求出∠FA′D的度數(shù)，利用翻折變換的性質(zhì)可求出∠ADG的度數(shù)，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折變換的性質(zhì)可得出AG的長度．

（3）先判斷出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，從而求出AD的長度，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，繼而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．

【解答】（1）證明：Rt△ABC中，∠C=90°，，

∵sinB==，

∴∠B=30°；

 

（2）解：∵正方形邊長為2，E、F為AB、CD的中點(diǎn)，

∴EA=FD=×邊長=1，

∵沿過點(diǎn)D的抓痕將紙片翻折，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處，

∴A′D=AD=2，

∴=，

∴∠FA′D=30°，

可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，

∵A沿GD折疊落在A′處，

∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，

∴∠ADG===15°，

∵A′D=2，F(xiàn)D=1，

∴A′F==，

∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，

∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，

∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，

∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，

則A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；

 

（3）解：∵折疊后B、D兩點(diǎn)恰好重合于一點(diǎn)O，

∴AO=AD=CB=CO，

∴DA=，

∵∠D=90°，

∴∠DCA=30°，

∵AB=CD=6，

在Rt△ACD中， =tan30°，

則AD=DC•tan30°=6×=2，

∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，

∴=tan30°=，

∴DF=AD=2，

∴DF=FO=2，

同理EO=2，

∴EF=EO+FO=4．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的知識(shí)，涉及了含30°角的直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，注意將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．