Question

如圖，已知函數(shù)y=x+1的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點B（0，-1），并且與x軸以及y=x+1的圖象分別交于點C、D．
（1）若點D的橫坐標為1，
①求四邊形AOCD的面積；
②是否存在y軸上的點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形時等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（2）若點D始終在第一象限，則系數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①由D在直線y=x+1圖象上，且橫坐標為1，將x=1代入求出y的值，確定出D坐標，將B與D坐標代入y=kx+b中求出k與b的值，確定出解析式，連接OD，四邊形AODC面積=三角形AOD面積+三角形COD面積，求出即可；
②存在，分DP=DB，BP=BD，PB=PD三種情況，依次求出P坐標即可；
（2）聯(lián)立兩直線解析式，消去y表示出x，由交點D在第一象限，求出k的范圍即可．

解答：解：（1）①∵點D在y=x+1的圖象上，
∴當x=1時，y=2，即D（1，2），
∵函數(shù)y=kx+b 的圖象經(jīng)過點B（0，-1）、D（1，2），
∴

b=-1 k+b=2

，
解得：

k=3 b=-1

，
∴直線BD解析式為y=3x-1，
易知A（0，1），令y=0，得x=

1

3

，
∴C（

1

3

，0），
連接OD，
則S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD=

1

2

×1×1+

1

2

×

1

3

×2=

5

6

；
②分三種情況考慮：
當DP=DB時，得到P（0，5）；
當BP=BD時，BD=

10

，得到P（0，-1-

10

）或P（0，-1+

10

）；
當PB=PD時，設P（0，a），則（a+1）²=1²+（2-a）²，
解得：a=

2

3

，即P（0，

2

3

）；

（2）將B（0，-1）代入y=kx+b得：b=-1，即直線解析式為y=kx-1，
聯(lián)立得：

y=x+1 y=kx-1

，
消去y得：x+1=kx-1，
解得：x=

-2

1-k

，
由D坐標在第一象限，得到

-2

1-k

＞0，即1-k＜0，
解得：k＞1．
故答案為：（3）k＞1．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線的交點坐標，等腰三角形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．