Question

【題目】如圖1，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（，1），射線AB與反比例函數(shù)圖象交與另一點B（1， ），射線AC與軸交于點C， 軸，垂足為D．

（1）求和a的值；

（2）直線AC的解析式；

（3）如圖2，M是線段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動點，過M作直線軸，與AC相交于N，連接CM，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=x﹣1；（3）

【解析】試題分析：（1）把A點代入反比例函數(shù)解析式可求得k，把B點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得a的值；

（2）過B作BH⊥AD于H，由A、B坐標(biāo)可得出△ABH為等腰直角三角形，由條件可求得∠DAC=30°，在△ACD中，由勾股定理可求得CD、AC，可求得C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；

（3）可設(shè)出M點坐標(biāo)為（t， ），從而可表示出N點坐標(biāo)，則可用t表示出MN的長，則可用t表示出△CMN的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

試題解析：（1）把A（2，1）代入y=，可得k=2×1=2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=，

把B（1，a）代入反比例函數(shù)解析式y=，可得a=2；

（2）作BH⊥AD于H，如圖1，

∵B點坐標(biāo)為（1，2），

∴AH=2-1，BH=2-1，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，

∵AD=2，設(shè)CD=x，則AC=2x，

∴由勾股定理可得CD=2，AC=4，

∴C點坐標(biāo)為（0，-1），

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

把A（2，1），C（0，-1）代入可得

，解得，

∴直線AC解析式為y=x-1；

（3）設(shè)M點坐標(biāo)為（t， ）（0＜t＜1），

∵直線l⊥x軸，與AC相交于點N，

∴N點坐標(biāo)為（t， t-1），

∴MN=-（t-1）=-t+1，

∴S△CMN=t（-t+1）=-t2+t+，

∴當(dāng)t=-=時，S有最大值，最大值為．