Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（，0 ）為圓心，以2為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)D、E

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)B是否在該拋物線上

（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上求一點(diǎn)P，使得△PBD的周長(zhǎng)最小

（3）設(shè)Q為（1）中的拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形BCQM是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由

 

Answer 1

（1） y=x2-x-3，點(diǎn)B（-，0）在拋物線上；

（2）（，-2）；

（3）存在，M（-3，12）或（5，12）或（，-4）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意A（，0），得出B（-，0）連接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=x2+bx+c，可求拋物線解析式；

（2）由（1）知，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接CD，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于P點(diǎn)，P點(diǎn)即為所求，先求直線CD的解析式，已知P點(diǎn)橫坐標(biāo)x=，代入直線CD的解析式即可求P；

（3）利用BC=4，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)是，當(dāng)M在Q點(diǎn)左邊，則M點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4=-3，代入拋物線解析式可求M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用當(dāng)M在Q點(diǎn)右邊求出M點(diǎn)坐標(biāo)，．

試題解析：（1）如圖：

∵OA=，AB=AC=2，

∴B（-，0），C（3，0），

在Rt△AOD中，AD=2，OA=，

∴OD=

∴D的坐標(biāo)為：（0，-3），

又D，C兩點(diǎn)在拋物線上，

則

解得：

則拋物線的解析式為：y=x2-x-3，

當(dāng)x=-時(shí)，y=0，

故點(diǎn)B（-，0）在拋物線上；

（2）如圖：

∵y=x2-x-3=（x-）2-4，

∴拋物線y=x2-x-3的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=，

在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，使△PBD的周長(zhǎng)最�。�

∵BD的長(zhǎng)為定值，

∴要使△PBD周長(zhǎng)最小只需PB+PD最�。�

連結(jié)DC，則DC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為使△PBD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)．

設(shè)直線DC的解析式為y=mx+n．

由

解得：

∴直線DC的解析式為：y=x-3，

由

解得：

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，-2）；

（3）存在，

如圖：

設(shè)Q（，t）為拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=上一點(diǎn)，M在拋物線上要使四邊形BCQM為平行四邊形，

則BC∥QM且BC=QM，點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)．

于是，過(guò)點(diǎn)Q作直線L∥BC與拋物線交于點(diǎn)M（xm，t），

由BC=QM得QM=4從而xm=-3，

故t=x2-x-3

解得：t=12，

故在拋物線上存在點(diǎn)M（-3，12），使得四邊形BCQM為平行四邊形；

故當(dāng)M在Q點(diǎn)右邊MQ=4，則M點(diǎn)橫坐標(biāo)為：5，可得縱坐標(biāo)為：12，

另外：M在拋物線的頂點(diǎn)上也可以構(gòu)造平行四邊形，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，-4），

故在拋物線上存在點(diǎn)M（-3，12）或（5，12）或（，-4），使得四邊形BCQM為平行四邊形．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．