Question

在△ABC中，BA=BC，BD為△ABC的中線，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作AB的平行線交AE的延長線于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若∠ABC=60°，請直接寫出線段AF，EG間的數(shù)量關(guān)系：

 

；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，求證：EG=2AF；
（3）在（2）的條件下，如圖3，在∠FAC的外部作∠CAH，使∠CAH=

1

3

∠FAC，過點(diǎn)B作BM∥AC交AG于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AH上，連接MN，BN，若∠BMN與∠EAH互余，△ABC的面積為18，求BN的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先判斷出△ABC是等邊三角形，設(shè)DF=a，表示出AF、EF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠G=∠CAE=30°，表示出GE，然后相比即可；
（2）取EG的中點(diǎn)P，連接CF、CP，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE=∠FAC=22.5°，根據(jù)等腰直角三角形的對稱性可得AF=CF，然后求出∠CFP=45°，再求出∠ECG=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CP=GP=

1

2

EG，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠G=∠BAE=22.5°，再求出∠CPF=45°，根據(jù)等角對等邊可得CF=CP，從而得到AF=CP，AF=

1

2

EG，整理即可得證；
（3）過點(diǎn)B作BK⊥AM于K，過點(diǎn)M作ML⊥AH于H，先求出∠EAH=30°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠AML=∠BMN=60°，然后求出∠BMK=∠NML，再求出∠BAE=∠BME=22.5°，根據(jù)等角對等邊可得AB=BM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得MK=

1

2

AM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得ML=

1

2

AM，從而得到MK=ML，再利用“角邊角”證明△BMK和△NML全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=BM，再根據(jù)等腰直角三角形的面積求出AB，再判斷出△BMN是等邊三角形，然后求解即可．

解答：（1）解：∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
設(shè)DF=a，
∵BD為△ABC的中線，AE為△ABC的角平分線，
∴AF=2a，EF=a，
∵CG∥AB，
∴∠G=∠CAE=∠CAE=30°，
∴GE=AE=AF+EF=2a+a=3a，
∴AF=

3

2

EG；
故答案為：AF=

3

2

EG．

（2）證明：取EG的中點(diǎn)P，連接CF、CP，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AF=CF，
∵AF是△ABC的角平分線，
∴∠BAE=∠FAC=22.5°，
∴∠CFP=45°，
∵CG∥AB，
∴∠ECG=∠ABC=90°，
∴CP=GP=

1

2

EG，
∵CG∥AB，
∴∠G=∠BAE=22.5°，
∴∠CPF=45°，
∴CF=CP，
∴AF=

1

2

EG，
故EG=2AF；

（3）解：過點(diǎn)B作BK⊥AM于K，過點(diǎn)M作ML⊥AH于H，
∵∠CAH=

1

3

∠FAC，
∴∠EAH=22.5°+

1

3

×22.5°=30°，
∴∠AML=90°-30°=60°，
∵∠BMN與∠EAH互余，
∴∠BMN=90°-30°=60°，
∴∠BMK=∠NML，
∵AE是△ABC的平分線，CG∥AB，
∴∠BAE=∠BME=

1

2

×45°=22.5°，
∴AB=BM，
∴MK=

1

2

AM，
∵∠MAH=30°，ML⊥AH，
∴MH=

1

2

AM，
∴MK=ML，
在△BMK和△NML中，

∠BMK=∠NML MK=ML ∠BKM=∠NLM=90°

，
∴△BMK≌△NML（ASA），
∴MN=BM，
∴MN=AB，
∵△ABC的面積為18，
∴

1

2

AB²=18，
∴AB=6，
∵∠BMN=60°，BM=MN，
∴△BMN是等邊三角形，
∴BN=MN=6．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并理解題目信息是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形．