Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，BC=CD=4cm，∠BAD=45°，過點(diǎn)A有兩條動(dòng)直線l₁和l₂從點(diǎn)A出發(fā)，且l₁⊥AD，l₂⊥AD，l₁以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向移動(dòng)，經(jīng)過4秒后，l₂以2cm/s的速度沿AD方向移動(dòng)，設(shè)l₁，l₂與梯形的邊圍成的圖形的面積為S，設(shè)l₁移動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）AD=

 

；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)B作BE⊥AD，根據(jù)所給出的條件得出四邊形BCDE是矩形，從而求出BE、DE，再根據(jù)∠BAD=45°，求出AE的值，即可得出答案，
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，設(shè)l₁交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，l₂交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，根據(jù)l₁以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向移動(dòng)，l₁移動(dòng)的時(shí)間為t，求出AG、FG，再根據(jù)經(jīng)過4秒后，l₂以2cm/s的速度沿AD方向移動(dòng)，求出AN、MN=2（t-4），從而求出NG，再根據(jù)梯形面積公式即可得出l₁，l₂與梯形的邊圍成的圖形的面積為S=

1

2

[（2t-8）+t]（8-t）然后進(jìn)行整理，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，設(shè)l₁交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，l₂交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，求出NG，再求出FG，最后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，
∵∠D=∠C=90°，
∴四邊形BCDE是矩形，
∴BE=CD=4，DE=BC=4，
∵∠BAD=45°，
∴AE=BE=4，
∴AD=4+4=8（cm），
故答案為；8cm，

（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖設(shè)l₁交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，l₂交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，
∵l₁以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向移動(dòng)，l₁移動(dòng)的時(shí)間為t，
∴AG=FG=tcm，
∵經(jīng)過4秒后，l₂以2cm/s的速度沿AD方向移動(dòng)，
∴AN=MN=2（t-4）=（2t-8）cm，
∴NG=AG-AN=t-（2t-8）=（8-t）cm，
∴l(xiāng)₁，l₂與梯形的邊圍成的圖形的面積為S=

1

2

[（2t-8）+t]（8-t）=（-

3

2

t²+16t-32）=（cm²），
∴S的最大值=

32

3

cm²，
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖設(shè)l₁交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，l₂交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，
則NG=AG-AN=t-（2t-8）=（8-t）cm，
∵FG=CD=4cm，
∴l(xiāng)₁，l₂與梯形的邊圍成的圖形的面積為S=NG•FG=4（8-t）=（32-4t）（cm²）
∴S的最大值=32（cm²）．

點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點(diǎn)是梯形矩形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況．