Question

（1）如圖1，把兩塊全等的含45°的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點E與三角板ABC的斜邊中點重合．可知：△BPE∽△CEQ （不需說理）
（2）如圖2，在（1）的條件下，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，讓三角板兩邊分別與線段BA的延長線、邊AC的相交于點P、Q，連接PQ．
①若BC=4，設(shè)BP=x，CQ=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為

 

；
②寫出圖中能用字母表示的相似三角形

 

；
③試判斷∠BPE與∠EPQ的大小關(guān)系？并說明理由．
（3）如圖3，在（2）的條件下，將三角板ABC改為等腰三角形，且AB=AC，三角板DEF改為一般三角形，其它條件不變，要使（2）中的結(jié)論③成立，猜想∠BAC與∠DEF關(guān)系為

 

．（將結(jié)論直接填在橫線上）
（4）如圖3，在（1）的條件下，將三角板ABC改為等腰三角形，且∠BAC=120°，AB=AC，三角板DEF改為∠DEF=30°直角三角形，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，讓三角板兩邊分別與線段BA的延長線、邊AC的相交于點P、Q，連接PQ．若S_△PEQ=2，PQ=2，求點C到AB的距離．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：探究型

分析：（2）如圖2，由（1）可知△BPE∽△CEQ，則有

BP

CE

=

BE

CQ

=

EP

QE

，由BE=CE可得

BP

BE

=

EP

QE

，從而可證到△BPE∽△EPQ，則有△BPE∽△CEQ∽△EPQ．①利用相似三角形的性質(zhì)就可得到y(tǒng)與x的關(guān)系；②由△ABC與△DEF全等可得△ABC∽△DEF，還有△BPE∽△CEQ∽△EPQ．③由△BPE∽△EPQ可得∠BPE=∠EPQ．
（3）若∠BAC+2∠DEF=180°，由AB=AC可得∠BAC+2∠B=180°，從而可得∠DEF=∠B，則有△BPE∽△EPQ，從而可得∠BPE=∠EPQ．
（4）過點E作EH⊥AB于H，點E作EG⊥PQ于G，點C作CN⊥AB于N，如圖3．易得∠B=∠ACB=∠DEF，則有△BPE∽△EPQ，就可得到∠BPE=∠EPQ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH=EG．易證△BHE∽△BNC，從而得到CN=2EH=2EG．然后由S_△PEQ=2，PQ=2可求出EG，就可得到點C到AB的距離．

解答：解：（2）如圖2，
由（1）可知：△BPE∽△CEQ，
則有

BP

CE

=

BE

CQ

=

EP

QE

．
∵BE=CE，∴

BP

BE

=

EP

QE

．
∵∠B=∠PEQ，
∴△BPE∽△EPQ．
∴△BPE∽△CEQ∽△EPQ．
①∵BE=CE=

1

2

BC=2，BP=x，CQ=y，
∴

x

2

=

2

y

，
∴y=

4

x

．
故答案為：y=

4

x

．
②∵△ABC與△DEF全等，∴△ABC∽△DEF．
故答案為：△BPE∽△CEQ∽△EPQ，△ABC∽△DEF．
③∠BPE=∠EPQ．
證明：∵△BPE∽△EPQ，∴∠BPE=∠EPQ．

（3）猜想：∠BAC+2∠DEF=180°．
理由如下：如圖3，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+2∠B=180°，
∴∠DEF=∠B，
∴∠DEF=∠B=∠ACB，
則有△BPE∽△EPQ（（2）中已證），
∴∠BPE=∠EPQ．
∴（2）中的結(jié)論③仍然成立．
故答案為：∠BAC+2∠DEF=180°．

（4）過點E作EH⊥AB于H，點E作EG⊥PQ于G，點C作CN⊥AB于N，如圖3．
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=

180°-120°

2

=30°．
∵∠DEF=30°，∴∠B=∠ACB=∠DEF．
則有△BPE∽△EPQ（（2）中已證），
∴∠BPE=∠EPQ．
∵EH⊥AB，EG⊥PQ，
∴EH=EG．
∵EH⊥AB，CN⊥AB，
∴EH∥CN，
∴△BHE∽△BNC，
∴

EH

CN

=

BE

BC

=

1

2

．
∴CN=2EH．
∴CN=2EG．
∵S_△PEQ=

1

2

PQ•EG=2，PQ=2，
∴EG=2，
∴CN=4．
∴點C到AB的距離為4．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積等知識，突出對K型相似模型（由∠B=∠C=∠PEQ可得△BPE∽△CEQ，由∠B=∠C=∠PEQ，BE=CE可得△BPE∽△CEQ∽△EPQ）的考查，應(yīng)熟悉并掌握它．