【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點B的坐標為(3,0),將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B,C兩點.

(1)求直線BC及拋物線的解析式;
(2)設拋物線的頂點為D,點P在拋物線的對稱軸上,且∠APD=∠ACB,求點P的坐標;
(3)連接CD,求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù).

【答案】
(1)解:∵y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點C,

∴C(0,3).

設直線BC的解析式為y=kx+3.

∵B(3,0)在直線BC上,

∴3k+3=0.

解得k=﹣1.

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.

∵拋物線y=x2+bx+c過點B,C,

解得

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3.


(2)解:由y=x2﹣4x+3.

可得D(2,﹣1),A(1,0).

∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2.

可得△OBC是等腰直角三角形,

∴∠OBC=45°,CB=3

如圖1,設拋物線對稱軸與x軸交于點F,

∴AF= AB=1.

過點A作AE⊥BC于點E.

∴∠AEB=90度.

可得BE=AE= ,CE=2

在△AEC與△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,

∴△AEC∽△AFP.

解得PF=2.∵點P在拋物線的對稱軸上,

∴點P的坐標為(2,2)或(2,﹣2).


(3)解:解法一:

如圖2,

作點A(1,0)關(guān)于y軸的對稱點A',則A'(﹣1,0).

連接A'C,A'D,

可得A'C=AC= ,∠OCA'=∠OCA.

由勾股定理可得CD2=20,A'D2=10.

又∵A'C2=10,

∴A'D2+A'C2=CD2

∴△A'DC是等腰直角三角形,∠CA'D=90°,

∴∠DCA'=45度.

∴∠OCA'+∠OCD=45度.

∴∠OCA+∠OCD=45度.

即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45度.

解法二:

如圖3,連接BD.

同解法一可得CD= ,AC=

在Rt△DBF中,∠DFB=90°,BF=DF=1,

∴DB=

在△CBD和△COA中, ,

∴△CBD∽△COA.

∴∠BCD=∠OCA.

∵∠OCB=45°,

∴∠OCA+∠OCD=45度.

即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45度.


【解析】直線y=kx向上平移3個單位與y軸交于C,可知C(0,3)代入拋物線解析式即可求出b、c;(2)由∠APD=∠ACB可構(gòu)造△AEC∽△AFP,由對應邊成比例可求出PF,進而求出P坐標;(3)求兩角和可轉(zhuǎn)化某一個角然后這兩者再相加組成一個角,可由△CBD∽△COA可得出 ∠BCD=∠OCA,∠OCA+∠OCD=∠BCD=45度.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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與標準質(zhì)量的差值(單位;千克)

-3

-2

-1.5

0

1

2.5

筐數(shù)

1

4

2

3

2

8

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類別/單價

成本價

銷售價(元/箱)

24

36

36

52

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