Question

已知線段AB為半圓O的直徑，AB=10cm，AC=6cm，點P為AB上一動點，P由B向A以2cm/s的速度運(yùn)動，到達(dá)A點后停止運(yùn)動．設(shè)P點的運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，△ACP為等腰三角形？

Answer 1

考點：等腰三角形的判定,勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：連接BC，可求得BC=8，再分AP=CP、AP=AC和AC=PC三種情況討論，①當(dāng)AP=CP時，過P作PD⊥AC，可知P為AB中點，可求得t，②當(dāng)AP=AC時，AP=6，可求出t，③當(dāng)AC=PC時，過C作CE⊥AB，利用三角函數(shù)可求出AE的長，可求得t．

解答：解：
連接BC，則∠ACB=90°，
可求得BC=8，
①當(dāng)AP=CP時，如圖1，過P作PD⊥AC，則D為AC中點，且PD∥BC，所以P為AB中點，
所以PB=5，即2t=5，解得t=2.5；

②當(dāng)AP=AC時，AP=6，則PB=10-6=4，即2t=4，解得t=2，
③當(dāng)AC=PC時，如圖2，過C作CE⊥AB，則cos∠CAE=

AE

AC

=

AC

AB

，即

AE

6

=

6

10

，解得AE=3.6，
所以AP=2AE=7.2，所以BP=10-7.2=2.8，即2t=2.8，解得t=1.4，

綜上可知當(dāng)t為2.5、3.6和1.4時，△ACP為等腰三角形．

點評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，分三種情況分別討論是解題的關(guān)鍵．