【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長(zhǎng).

【答案】
(1)

證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,

∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB,

在△AEC和△ADB中,

,

∴△AEC≌△ADB(SAS);


(2)

解:∵四邊形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,

∴∠DBA=∠BAC=45°,

由(1)得:AB=AD,

∴∠DBA=∠BDA=45°,

∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形,

∴BD2=2AB2,即BD=2 ,

∴AD=DF=FC=AC=AB=2,

∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2


【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等,以及AB=AC,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等得到兩對(duì)邊相等,一對(duì)角相等,利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可;
   。2)根據(jù)∠BAC=45°,四邊形ADFC是菱形,得到∠DBA=∠BAC=45°,再由AB=AD,得到三角形ABD為等腰直角三角形,求出BD的長(zhǎng),由BD﹣DF求出BF的長(zhǎng)即可.此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及菱形的性質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中直線x軸、y軸相交于AB兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)C在線段OA上,將線段CB繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CD,此時(shí)點(diǎn)D恰好落在直線AB上時(shí),過(guò)點(diǎn)D軸于點(diǎn)E

求證:;

如圖2,將沿x軸正方向平移得,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo)及平移的距離;

若點(diǎn)Py軸上,點(diǎn)Q在直線AB是否存在以C、DP、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫(xiě)出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】材料閱讀:若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2(a、b是正整數(shù))的形式,則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.例如:因?yàn)?3=32+22,所以13是“完美數(shù)”;再如:因?yàn)閍2+2ab+2b2=(a+b)2+b2(a、b是正整數(shù)),所以a2+2ab+2b2也是“完美數(shù)”.

(1)請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)大于20小于30的“完美數(shù)”,并判斷53是否為“完美數(shù)”;

(2)試判斷(x2+9y2)·(4y2+x2)(x、y是正整數(shù))是否為“完美數(shù)”,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( 。
A.
B.
C.
D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí),將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞著矩形ABCD(AB<BC)的對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(如圖①③),圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn).

(1)該學(xué)習(xí)小組中一名成員意外地發(fā)現(xiàn):在圖①(三角板的一直角邊與OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在圖③(三角板的一直角邊與OC重合)中,CN2=BN2+CD2.請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說(shuō)明理由.

(2)試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關(guān)系,寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx與直線y=2x+4交于A(a,8)、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上A、B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線與直線AB交于點(diǎn)C和點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若C為AB中點(diǎn),求PC的長(zhǎng);
(3)如圖,以PC,PE為邊構(gòu)造矩形PCDE,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),請(qǐng)求出m,n之間的關(guān)系式.

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【題目】不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為( 。
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y= (k為常數(shù),k≠0)的圖象交于點(diǎn)A(﹣1,4)和點(diǎn)B(a,1).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和a、b的值;
(2)若A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱,請(qǐng)連接AO,并求出直線l與線段AO的交點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OA⊥OB,AB⊥x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A( ,1)在反比例函數(shù)y= 的圖象上.

(1)求反比例函數(shù)y= 的表達(dá)式;
(2)在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P,使得SAOP= SAOB , 求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BDE.直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)E是否在該反比例函數(shù)的圖象上,說(shuō)明理由.

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