Question

如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙、…，已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為a．（說明：①標(biāo)準(zhǔn)紙“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙、…都是矩形；②本題中所求邊長或面積都用含a的代數(shù)式表示．）
（Ⅰ）如圖2，把上面對開得到的“16開”紙按如下步驟折疊：
第一步：將矩形的短邊AB與長邊AD對齊折疊，點B落在AD上的點B′處，鋪平后得折痕AE；
第二步：將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點D正好與點E重合，鋪平后得折痕AF．則AD：AB的值是

 

；
（Ⅱ）求“2開”紙長與寬的比

 

；
（Ⅲ）如圖3，由8個大小相等的小正方形構(gòu)成“L”型圖案，它的四個頂點E，F(xiàn)，G，H分別在“16開”紙的邊AB，BC，CD，DA上，則DG的長

 

．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：操作型,探究型,幾何變換

分析：（1）由折疊可得AD=AE，∠BAE=45°，根據(jù)勾股定理就能求出AD：AB的值．
（2）按照圖1的折疊方法可得：“2開”紙的寬是“16開”紙的長的2倍“；“2開”紙的長是“16開”紙的寬的4倍，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可解決問題．
（3）設(shè)DG的長為x，由于DC=

a

4

，則GC=

a

4

-x，易證△HDG～△GCF，△GCF≌△FBE，從而得到BF=CG=

a

4

-x，F(xiàn)C=2DG=2x，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得BC=AD=

2

AB=

2 a

4

，根據(jù)BC=BE+EC即可建立關(guān)于x的方程，就可求出DG的長．

解答：解：（1）如圖2，由折疊可得：AD=AE，∠BAE=∠DAE=

1

2

∠BAD．
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
∴∠BAE=45°．∴∠BEA=45°．∴AB=BE．
∴AE²=AB²+BE²=2AB²．∴AE=

2

AB．
∴AD=AE=

2

AB．
∴AD：AB的值是

2

．

（2）如圖1，由折疊可得：
“2開”紙的寬與“4開”紙的長相等，是“16開”紙的長的2倍；
“2開”紙的長是“8開”紙的長的2倍，是“16開”紙的寬4倍．
∵“2開”紙的長是a，∴“16開”紙的寬AB是

a

4

．
∵AD=

2

AB，∴“16開”紙的長AD是

2 a

4

．
∴“2開”紙的寬是

2 a

2

．
∴“2開”紙長與寬的比為a：

2 a

2

=

2

：1．
（3）∵四邊形ABCD是矩形，∴DC=AB=

a

4

，BC=AD=

2 a

4

．
由圖3可得：∠EFG=∠FGH=90°，EF=FG=2GH．
∵∠B=∠EFG=∠C=∠FGH∠D=90°，
∴∠BFE=90°-∠CFG=∠CGF，∠CGF=90°-∠DGH=∠DHG．
在△FCG和△GDH中，
∵∠C=∠D，∠CGF=∠DHG，
∴△FCG∽△GDH．
∴

FC

GD

=

FG

GH

．
∵FG=2GH，∴FC=2GD．
在△EBF和△FCG中，

∠B=∠C ∠BFE=∠CGF EF=FG

∴△EBF≌△FCG．
∴BF=CG．
設(shè)DG=x，則BF=CG=DC-DG=

a

4

-x，F(xiàn)C═2GD=2x．
∵BC=BF+FC=

2 a

4

，∴

a

4

-x+2x=

2 a

4

．
∴x=

2 -1

4

a．
∴DG的長為

2 -1

4

a．
故答案為：

2

，

2

：1，

2 -1

4

a．

點評：本題是操作探究類的一道試題，讓學(xué)生在操作中探究，在探究中發(fā)現(xiàn)，考查了相似的性質(zhì)與判定、全等的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，有一定的綜合性，是一道體現(xiàn)新課程理念的好題．