Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CM．

（1）求證：∠ACM=∠ABC；

（2）延長(zhǎng)BC到D，使BC = CD，連接AD與CM交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，ED = 2,求∆ACE的外接圓的半徑．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理、切線的性質(zhì)和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，應(yīng)用角的轉(zhuǎn)換即可證得結(jié)論.

（2）由已知可得OC是△ABC的中位線，從而可得ΔAEC是直角三角形，即AEC的外接圓的直徑為AC，通過(guò)證明ΔABC∽ΔCDE求得BC的長(zhǎng)，在RtΔABC中應(yīng)用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而得到∆ACE的外接圓的半徑．

試題解析：（1）如圖，連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB = 90°. ∴∠ABC＋∠BAC= 90°.

又∵CM是⊙O的切線，∴OC⊥CM. ∴∠ACM＋∠ACO= 90° .

∵CO = AO，∴∠BAC =∠ACO. ∴∠ACM =∠ABC.

（2）∵BC = CD，BO = OA，∴OC∥AD.

又∵OC⊥CE. ∴AD⊥CE. ∴ΔAEC是直角三角形. ∴ΔAEC的外接圓的直徑為AC.

又∵∠ABC＋∠BAC= 90°，∠ACM＋∠ECD = 90°，∠ABC =∠ACM，∴∠BAC =∠ECD.

又∵∠CED =∠ACB = 90°，∴ΔABC∽ΔCDE. ∴.

∵⊙O的半徑為3，ED = 2，∴AB = 6. ∴，解得.

∴在RtΔABC中，.

∴ ΔAEC的外接圓的半徑為.

考點(diǎn)：1. 圓周角定理；2.切線的性質(zhì)；3.等腰三角形的性質(zhì)；4.三角形中位線定理；5.直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；6.相似三角形的判定和性質(zhì)；7.勾股定理.